Hallar las raíces y factores de un polinomio

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Halla las raíces y factores del polinomio 2x^3-5x^2-x+4

SOLUCIÓN

Empezamos usando Ruffini

\polyhornerscheme[x=1,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{2x^3-5x^2-x+4}

Con lo cual ya tenemos una raíz x=1 y dos factores: (x-1) y (2x^2-3x-4)

El polinomio original se puede expresar como:
2x^3-5x^2-x+4 = (x-1) \cdot (2x^2-3x-4)

Vamos a comprobar si hay más raíces y factores intentando factorizar 2x^2-3x-4. Para ello resolvemos la ecuación de segundo grado 2x^2-3x-4=0

\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{3+\sqrt{41}}{4}\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot2\cdot(-4)}}{2 \cdot2}=\frac{3\pm \sqrt{41}}{4}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{3-\sqrt{41}}{4}\end{array}

Hemos encontrado dos raíces más: x=\frac{3+\sqrt{41}}{4} y x=\frac{3-\sqrt{41}}{4}

El polinomio original completamente factorizado quedaría:

2x^3-5x^2-x+4 = (x-1) \cdot 2 \cdot \left(x-\frac{3+\sqrt{41}}{4}\right) \cdot \left(x-\frac{3-\sqrt{41}}{4}\right)