Inecuaciones segundo grado 3205

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Resuelve la inecuación x^2-5x+4 < 0

SOLUCIÓN

x^2-5x+4 < 0

Si resolvemos la ecuación de segundo grado x^2-5x+4 = 0 obtenemos como soluciones x=1 y x=4

\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{5+3}{2}=4\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2-4 \cdot1\cdot4}}{2 \cdot1}= \frac{5\pm \sqrt{9}}{2}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{5-3}{2}=1\end{array}


Eso nos divide la recta real en 3 intervalos:

(-\infty,1) \qquad (1,4) \qquad (4,+\infty)

Para comprobar si cada uno de los intervalos pertenece a la solución, tomamos un punto de cada intervalo y verificamos si cumple la inecuación:
0 \in (-\infty,1) \rightarrow 0^2-5 \cdot 0 + 4 <0 ? NO
2 \in (1,4) \rightarrow 2^2-5 \cdot 2 + 4 <0 ? SI
5 \in (4,+\infty) \rightarrow 5^2-5 \cdot 5 + 4 <0 ? NO

Por tanto la solución sería el intervalo (1,4)

Observamos que los puntos 1 y 4 no pertenecen a la solución (no cumplen la inecuación) por lo que el intervalo solución lo hemos puesto abierto (sin incluir ni el 1 ni el 4)

Otra forma de resolverla

Después de resolver la ecuación de segundo grado y obtener las soluciones 1 y 4, podemos dibujar la parábola y=x^2-5x+4

No es necesario dibujarla de forma perfecta. Basta con saber que es convexa (el coeficiente de x^2 es positivo) y que los puntos de corte son: 1 y 4 y

Como la inecuación x^2-5x+4 < 0 dice "menor que 0" tomamos la parte que hay bajo el eje horizontal, es decir la solución es (1,4)
Tomamos el intervalo abierto por que es "<" (menor estricto)