Integral de Logaritmo Neperiano

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Dada la función f(x) = Ln(x), calcula una primitiva de f(x) cuya gráfica pase por el punto (e,3)

SOLUCIÓN

Calculamos \int ln(x) dx por partes:
u= ln(x) \longrightarrow du= \frac{1}{x}dx
dv= dx \longrightarrow v = x

\int ln(x) dx = ln(x) \cdot x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx=
= x ln(x) -x = x \cdot (ln(x) -1) + C

Por tanto, cualquier primitiva será de la forma:
F(x) = x \cdot (ln(x) -1) + C

La primitiva que pasa por (e,3) cumple que F(e) = 3
F(e) = e \cdot (ln(e) -1) + C = 3
e \cdot (1 -1) + C = 3 \longrightarrow C=3

\fbox{F(x) = x \cdot (ln(x) -1) + 3}