Integral de Logaritmo Neperiano

Dada la función , calcula una primitiva de cuya gráfica pase por el punto

SOLUCIÓN

Calculamos $\int ln(x) dx$ por partes:
$u= ln(x) \longrightarrow du= \frac{1}{x}dx$
$dv= dx \longrightarrow v = x$

$\int ln(x) dx = ln(x) \cdot x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx=$
$= x ln(x) -x = x \cdot (ln(x) -1) + C$

Por tanto, cualquier primitiva será de la forma:
$F(x) = x \cdot (ln(x) -1) + C$

La primitiva que pasa por (e,3) cumple que F(e) = 3
$F(e) = e \cdot (ln(e) -1) + C = 3$
$e \cdot (1 -1) + C = 3 \longrightarrow C=3$

$\fbox{F(x) = x \cdot (ln(x) -1) + 3}$