Integrales Selectividad Madrid

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Calcular \int_1^2 \frac{dx}{x^2+2x}

SOLUCIÓN

Primero calculamos la integral indefinida y después le aplicamos los límites de integración.
La integral \int_1^2 \frac{dx}{x^2+2x} es de tipo racional (cociente de polinomios). Para resolverla:

– 1) Comprobamos que no es inmediata de tipo neperiano: el numerador no es la derivada del denominador
– 2) División de polinomios: como el grado del denominador es mayor, no necesitamos hacer la división de polinomios
– 3) Factorizamos el denominador para ver qué tipo de raíces tiene:
\frac{1}{x^2+2x} = \frac{1}{x(x+2)}
Se trata de Raíces Reales Simples, por tanto procedemos a descomponer en fracciones simples:

\frac{1}{x(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+2} = \frac{A(x+2)+Bx}{x(x+2)}
Basándonos en la igualdad 1 = A(x+2)+Bx debemos calcular los valores de A y B (dando a x los valores de las raíces):
Si x=0 \longrightarrow 1=2A \longrightarrow A = 1/2
Si x=-2 \longrightarrow 1=-2B \longrightarrow B = -1/2

Por tanto, la descomposición sería:
\frac{1}{x(x+2)} = \frac{1/2}{x} + \frac{-1/2}{x+2}
Y la integral quedaría:
\int \frac{dx}{x(x+2)} = \int \frac{1/2}{x} \: dx + \int \frac{-1/2}{x+2} \: dx =
= \frac{1}{2} Ln|x| - \frac{1}{2} Ln|x+2| + C

Ahora calculamos la integral definida (quitando la constante y aplicando los límites de integración):
\int_1^2 \frac{dx}{x(x+2)} = \left. \frac{1}{2} Ln|x| - \frac{1}{2} Ln|x+2| \right]_1^2=
= \left( \frac{1}{2} Ln|2| - \frac{1}{2} Ln|2+2| \right) - \left( \frac{1}{2} Ln|1| - \frac{1}{2} Ln|1+2| \right)=
=\frac{1}{2} \cdot \left( Ln(2) - Ln(4) - Ln(1) + Ln(3) \right)=

P.D. La integral ya está calculada, aunque se podría simplificar aplicando las propiedades de los logaritmos