Integrales Racionales con raíces reales simples

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Una vez factorizado el denominador, supongamos que obtenemos dos raíces reales simples: a y b

\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x)}{(x-a)\cdot (x-b)}

La descomposición sería mediante una fracción por cada una de las raíces:

\frac{P(x)}{(x-a)\cdot (x-b)}= \frac{A}{(x-a)}+\frac{B}{(x-b)}

Dando valores arbitrarios a x, por ejemplo: a, b , 0, 1, 2, .. obtendremos los valores de A, B, ... Normalmente necesitaremos dar tantos valores a x como fracciones simples tengamos.

Ejemplo: \int \frac{3}{x^2-5x+6}\: dx

– Factorizamos el denominador: x^2-5x+6 = (x-2) \cdot (x-3)
– Expresamos la descomposición en suma de dos fracciones

\frac{3}{x^2-5x+6} = \frac{3}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}


– Realizamos la suma de fracciones

\frac{3}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3} = \frac{A(x-3)+B(x-2)}{(x-2)(x-3)}


– Nos fijamos en la siguiente igualdad

3 = A(x-3)+B(x-2)


– Para calcular A y B damos valores arbitrarios a x (las propias raíces son los valores que más rápido nos llevan a la solución)

– Si x=3 \Longrightarrow 3=A(3-3)+B(3-2) \Longrightarrow \fbox{3=B}
– Si x=2 \Longrightarrow 3=A(2-3)+B(2-2) \Longrightarrow 3=-A \rightarrow \fbox{A=-3}

Ya tenemos el resultado:

\frac{3}{x^2-5x+6}=\frac{-3}{x-2}+\frac{3}{x-3}

Por tanto:

\int \frac{3}{x^2-5x+6}dx=\int \frac{-3}{x-2}dx+\int \frac{3}{x-3}dx =


=-3 \cdot Ln|x-2| + 3 \cdot Ln|x-3| + C

Observe que se reducen a integrales sencillas tipo Neperiano.