Una vez factorizado el denominador, supongamos que obtenemos dos raíces reales simples: a y b
![\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x)}{(x-a)\cdot (x-b)} \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x)}{(x-a)\cdot (x-b)}](local/cache-vignettes/L212xH70/5937bc01ab185f9647f59cd65c03da1e-96854.png?1688053314)
La descomposición sería mediante una fracción por cada una de las raíces:
![\frac{P(x)}{(x-a)\cdot (x-b)}= \frac{A}{(x-a)}+\frac{B}{(x-b)} \frac{P(x)}{(x-a)\cdot (x-b)}= \frac{A}{(x-a)}+\frac{B}{(x-b)}](local/cache-vignettes/L318xH70/3bc6c5dbf37be7532394b606fb5db019-7b63d.png?1688053314)
Dando valores arbitrarios a
, por ejemplo:
,
,
obtendremos los valores de
. Normalmente necesitaremos dar tantos valores a
como fracciones simples tengamos.
Ejemplo: ![\int \frac{3}{x^2-5x+6}\: dx \int \frac{3}{x^2-5x+6}\: dx](local/cache-vignettes/L153xH65/4a7abc83e3068aac648f6a31c12340b3-4a72f.png?1688053314)
– Factorizamos el denominador:
– Expresamos la descomposición en suma de dos fracciones
![\frac{3}{x^2-5x+6} = \frac{3}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3} \frac{3}{x^2-5x+6} = \frac{3}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}](local/cache-vignettes/L402xH67/3bb2c15f73e0fa6dd030c7460c5ac12e-3054c.png?1688053314)
– Realizamos la suma de fracciones
![\frac{3}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3} = \frac{A(x-3)+B(x-2)}{(x-2)(x-3)} \frac{3}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3} = \frac{A(x-3)+B(x-2)}{(x-2)(x-3)}](local/cache-vignettes/L482xH70/dd26488c70a9fc5815db8679dba56af2-15cbf.png?1688053314)
– Nos fijamos en la siguiente igualdad
![3 = A(x-3)+B(x-2) 3 = A(x-3)+B(x-2)](local/cache-vignettes/L215xH42/f068cbaaf2117ec96d5f1470f4c84553-ea977.png?1688053314)
– Para calcular
![A A](local/cache-vignettes/L22xH40/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29-8d042.png?1688041649)
y
![B B](local/cache-vignettes/L22xH40/9d5ed678fe57bcca610140957afab571-79d5a.png?1688043730)
damos valores arbitrarios a
![x x](local/cache-vignettes/L17xH30/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6-7df4e.png?1688043579)
(las propias raíces son los valores que más rápido nos llevan a la solución)
– Si
– Si ![x=2 \Longrightarrow 3=A(2-3)+B(2-2) \Longrightarrow 3=-A \rightarrow \fbox{A=-3} x=2 \Longrightarrow 3=A(2-3)+B(2-2) \Longrightarrow 3=-A \rightarrow \fbox{A=-3}](local/cache-vignettes/L500xH52/3dcfb48e39c4613ccecfec40cdf19542-8cbcc.png?1688053314)
Ya tenemos el resultado:
![\frac{3}{x^2-5x+6}=\frac{-3}{x-2}+\frac{3}{x-3} \frac{3}{x^2-5x+6}=\frac{-3}{x-2}+\frac{3}{x-3}](local/cache-vignettes/L252xH65/c91c7556e712296b112554353f6fbc47-bc26f.png?1688053314)
Por tanto:
![\int \frac{3}{x^2-5x+6}dx=\int \frac{-3}{x-2}dx+\int \frac{3}{x-3}dx = \int \frac{3}{x^2-5x+6}dx=\int \frac{-3}{x-2}dx+\int \frac{3}{x-3}dx =](local/cache-vignettes/L398xH65/7dea0fc9d00ac3d51a979a52a92664e1-00dc0.png?1688053314)
![=-3 \cdot Ln|x-2| + 3 \cdot Ln|x-3| + C =-3 \cdot Ln|x-2| + 3 \cdot Ln|x-3| + C](local/cache-vignettes/L315xH42/74640351e7b31904824000db226dd0db-dc9bc.png?1688053314)
Observe que se reducen a integrales sencillas tipo Neperiano.