La Pirámide de Keops

La Gran Pirámide de Guiza (también conocida como Pirámide de Keops o de Jufu) es la más antigua de las siete maravillas del mundo y la única que aún perdura, además de ser la mayor de las pirámides de Egipto. Ayúdanos a conocer un poco más de la Gran Pirámide, siguiendo los siguientes pasos:

1) La base de la pirámide está formada por los cuatro puntos de los cuales tres puntos son , y . Forma los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ , comprueba que son linealmente independientes y calcula el área del paralelogramo que forman haciendo uso del producto vectorial. Sabiendo que la longitud es $1=23 \: m$ y por tanto la superficie es $1=529 \: m^2$ ¿Cuántos metros cuadrados de superficie tiene la Gran Pirámide?

2) Si la vertical del centro de la pirámide sigue esta ecuación:
$r \equiv \left\{ x=0 \atop y=0 \right.$
Y el lado de la puerta (donde está el $\vec{AC}$ ) es la recta de ecuación:
$s \equiv \left\{ y=-5 \atop z=0 \right.$

¿Cuántos metros hay de la puerta al centro de la pirámide, O? Demuéstralo con la distancia entre dos rectas (1=23 m)

3) Sabiendo que la cúspide (D) está en el calcular las ecuaciones vectoriales y paramétricas de las dos rectas y que forma los lados ( $\vec{AD}$ y $\vec{CD}$ )

4) Halla el plano que contiene a la puerta y es un lado de la pirámide. Halla el plano que es vertical y contiene a la puerta y al centro O. Interseca ambos planos obteniendo la ecuación de la recta . Comprueba que es la misma recta que pasa por la puerta y la cúspide D.

SOLUCIÓN

$\vec{AB} = (0, 10, 0)$

$\vec{AC} = (10, 0, 0)$

Lso vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ son linealmente independiente puesto que no son proporcionales.

$A = |\vec{AB} \times \vec{AC}|$

$A = |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} &\vec{j} &\vec{k} \\0 & 10 & 0 \\10 & 0 & 0 \end{array} \right| = 0 \vec{i} + 0\vec{j} -100 \vec{k}$

$A = |\vec{AB} \times \vec{AC}| = +\sqrt{0^2+0^2+(-100)^2}=100$

En esacala sería: $100 \cdot 529 \: m^2 = \color{blue}{52900 \: m^2}$

2) Debemos calcular la distancia entre rectas que se cruzan
Usaremos el tercer método descrito en el enlace anterior. Para ello necesitamos el vector director de cada recta y un punto de cada recta.

La recta es una recta vertical por el origen de coordenadas, es decir, coincide con el eje $\vec{OZ}$ . Sus puntos son de la forma , , etc. Por tanto es fácil obtener puntos y vectores de dicha recta.

$\vec{v_r} = (0,0,1) \qquad P_r(0,0,0)$

La recta pasa por los puntos y . Como vector director podemos tomar el vector $\vec{AC}$ y como punto por ejemplo el punto

$\vec{v_s} = (10,0,0) \qquad P_s(-5,-5,0)$

Los datos que necesitamos para calcular la distancia entre ambas rectas (según método 3) son:
$\vec{v_r} = (0,0,1)$
$\vec{v_s} = (10,0,0)$
$\vec{P_rP_s}=(-5,-5,0)$

Ahora aplicamos la fórmula:

$d(r,s) = \frac{\left| [\vec{v_r},\vec{v_s},\vec{P_rP_s}] \right|}{\left| \vec{v_r} \times \vec{v_s} \right|}$

$[\vec{v_r},\vec{v_s},\vec{P_rP_s}]=\left| \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\10 & 0 & 0 \\-5 & -5 & 0 \end{array} \right|=-50$

$\vec{v_r} \times \vec{v_s}=\left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\0 & 0 & 1 \\10 & 0 & 0 \end{array} \right|= 10 \vec{j} \longrightarrow \vec{v_r} \times \vec{v_s}=(0,10,0)$