La Pirámide de Keops

La Gran Pirámide de Guiza (también conocida como Pirámide de Keops o de Jufu) es la más antigua de las siete maravillas del mundo y la única que aún perdura, además de ser la mayor de las pirámides de Egipto. Ayúdanos a conocer un poco más de la Gran Pirámide, siguiendo los siguientes pasos:

1) La base de la pirámide está formada por los cuatro puntos de los cuales tres puntos son A=(-5,-5,0), B=(-5,5,0) y C=(5,-5,0). Forma los vectores \vec{AB} y \vec{AC}, comprueba que son linealmente independientes y calcula el área del paralelogramo que forman haciendo uso del producto vectorial. Sabiendo que la longitud es 1=23 \: m y por tanto la superficie es 1=529 \: m^2 ¿Cuántos metros cuadrados de superficie tiene la Gran Pirámide?

2) Si la vertical del centro de la pirámide sigue esta ecuación:
r \equiv \left\{ x=0 \atop y=0 \right.
Y el lado de la puerta (donde está el \vec{AC}) es la recta de ecuación:
s \equiv \left\{ y=-5 \atop z=0 \right.

¿Cuántos metros hay de la puerta al centro de la pirámide, O? Demuéstralo con la distancia entre dos rectas (1=23 m)

3) Sabiendo que la cúspide (D) está en el (0,0,6) calcular las ecuaciones vectoriales y paramétricas de las dos rectas u y v que forma los lados (\vec{AD} y \vec{CD})

4) Halla el plano que contiene a la puerta (0,-5,0) y es un lado de la pirámide. Halla el plano que es vertical y contiene a la puerta y al centro O. Interseca ambos planos obteniendo la ecuación de la recta h. Comprueba que es la misma recta que pasa por la puerta y la cúspide D.

SOLUCIÓN


\vec{AB} = (0, 10, 0)

\vec{AC} = (10, 0, 0)

Lso vectores \vec{AB} y \vec{AC} son linealmente independiente puesto que no son proporcionales.

A = |\vec{AB} \times \vec{AC}|

A = |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} &\vec{j} &\vec{k} \\0 & 10 & 0 \\10 & 0 & 0 \end{array} \right| = 0 \vec{i} + 0\vec{j} -100 \vec{k}

A = |\vec{AB} \times \vec{AC}| = +\sqrt{0^2+0^2+(-100)^2}=100

En esacala sería: 100 \cdot 529 \: m^2 = \color{blue}{52900 \: m^2}

2) Debemos calcular la distancia entre rectas que se cruzan
Usaremos el tercer método descrito en el enlace anterior. Para ello necesitamos el vector director de cada recta y un punto de cada recta.

La recta r es una recta vertical por el origen de coordenadas, es decir, coincide con el eje \vec{OZ}. Sus puntos son de la forma (0,0,1) , (0,0,2), etc. Por tanto es fácil obtener puntos y vectores de dicha recta.

\vec{v_r} = (0,0,1) \qquad P_r(0,0,0)

La recta s pasa por los puntos A y C. Como vector director podemos tomar el vector \vec{AC} y como punto por ejemplo el punto A

\vec{v_s} = (10,0,0) \qquad P_s(-5,-5,0)

Los datos que necesitamos para calcular la distancia entre ambas rectas (según método 3) son:
\vec{v_r} = (0,0,1)
\vec{v_s} = (10,0,0)
\vec{P_rP_s}=(-5,-5,0)

Ahora aplicamos la fórmula:

d(r,s) = \frac{\left| [\vec{v_r},\vec{v_s},\vec{P_rP_s}] \right|}{\left| \vec{v_r} \times \vec{v_s} \right|}

[\vec{v_r},\vec{v_s},\vec{P_rP_s}]=\left| \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\10 & 0 & 0 \\-5 & -5 & 0 \end{array} \right|=-50

\vec{v_r} \times \vec{v_s}=\left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\0 & 0 & 1 \\10 & 0 & 0 \end{array} \right|=  10 \vec{j} \longrightarrow \vec{v_r} \times \vec{v_s}=(0,10,0)

d(r,s) = \frac{|-50|}{+\sqrt{0^2+10^2+0^2}} = \frac{50}{10} = 5

5 \cdot 23 = \color{blue}{115 \: m}

3) A=(-5,-5,0) \qquad C=(-5,5,0) \qquad D(0,0,6)

\vec{AD} = (5,5,6)
\vec{CD} = (5,-5,6)

u \equiv (x,y,z) = (0,0,6) + (5,5,6)t

u \equiv \left\{ \begin{array}{l} x= 5t \\ y=5t \\z=6+6t \end{array}\right.

v \equiv (x,y,z) = (0,0,6) + (5,-5,6)t

v \equiv \left\{ \begin{array}{l} x= 5t \\ y=-5t \\z=6+6t \end{array} \right.

4) El primer plano que nos piden es el plano de la cara ACD. Usaremos los vectores \vec{AD}= (5,5,6) y \vec{CD}=(-5,5,6) y como punto D(0,0,6)

\pi_1 \equiv \left| \begin{array}{ccc} x & y & z-6 \\5 & 5 & 6 \\ -5 & 5 &6 \end{array} \right| =0

\pi_1 \equiv -60y+50z-300=0 que podemos simplificar:

\pi_1 \equiv \color{red}{-6y+5z-30=0}

El segundo plano que nos piden pasa por los puntos O(0,0,0) , S(0,-5,0) y D(0,0,6).
Usaremos como punto O(0,0,0) y como vectores \vec{OS}=(0,-5,0) y \vec{OD}=(0,0,6)

\pi_2 \equiv \left| \begin{array}{ccc} x & y & z \\ 0& -5 & 0 \\ 0 & 0 &6 \end{array} \right| =0
\pi_2 \equiv \color{red}{-30x=0}

La intersección de ambos planos es la recta h \equiv \left\{ -6y+5z-30=0 \atop -30x=0 \right.

Podemos comprobar que los puntos S(0,-5,0) y D(0,0,6) pertenecen a dicha recta (deben verificar ambas ecuaciones de la recta)

\left\{ -6 \cdot (-5) + 5 \cdot 0 -30=0 \atop -30 \cdot 0=0 \right.

\left\{ -6 \cdot 0+5 \cdot 6-30=0 \atop -30 \cdot =0 \right.