04 - Distancia entre rectas que se cruzan

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Para calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan r y s podemos usar varios procedimientos. Veamos algunos de ellos:

Método 1

– Buscamos un plano \pi que contenga a una de las rectas (r) y que sea paralelo a la otra recta (s) (podemos hallarlo con un vector director de cada recta y un punto de r).
– La distancia entre ambas rectas es la distancia de cualquier punto de s al plano.

Distancia entre rectas que se cruzan
rectas que se cruzan sin cortarse en el espacio

Ver ejemplo resuelto por este método

Método 2

Otro método sería el que aparece en el siguiente vídeo:

 

Método 3

Otra forma de calcular la distancia entre rectas que se cruzan es aplicar la siguiente fórmula (necesitamos un vector y un punto de cada recta)

d(r,s) = \frac{\left| [\vec{v_r},\vec{v_s},\vec{P_rP_s}] \right|}{\left| \vec{v_r} \times \vec{v_s} \right|}

Numerador \longrightarrow valor absoluto del producto mixto
Denominador \longrightarrow módulo del producto vectorial

Veamos de dónde sale la fórmula

Distancia entre rectas que se cruzan sin cortarse
Método para calcular la distancia entre rectas que se cruzan en el espacio
matematicasies.com

Volumen del paralelepípedo = Área de la base x altura

\text{\huge{V=A}} \cdot \text{\huge{d}}

Recordemos que el volumen se calcula con el producto mixto y la superficie con el producto vectorial

\underbrace{\left| [\vec{v_r},\vec{v_s},\vec{P_rP_s}] \right|}_{V} = \underbrace{\left| \vec{v_r} \times \vec{v_s} \right|}_{A} \cdot d

Despejando "d" se obtiene la fórmula para calcular la distancia entre rectas que se cruzan:

d(r,s) = \frac{\left| [\vec{v_r},\vec{v_s},\vec{P_rP_s}] \right|}{\left| \vec{v_r} \times \vec{v_s} \right|}

\vec{v_r} \longrightarrow vector director de la recta r
\vec{v_s} \longrightarrow vector director de la recta s
\vec{P_rP_s} \longrightarrow vector formado por un punto de cada recta.

Ver ejemplo resuelto por el método 3