04 - Distancia entre rectas que se cruzan

Para calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan r y s podemos usar varios procedimientos. Veamos algunos de ellos:

Método 1

- Buscamos un plano \pi que contenga a una de las rectas (r) y que sea paralelo a la otra recta (s) (podemos hallarlo con un vector director de cada recta y un punto de r).
- La distancia entre ambas rectas es la distancia de cualquier punto de s al plano.
Distancia entre rectas que se cruzan

Ver ejemplo resuelto por este método

Método 2

Otro método sería el que aparece en el siguiente vídeo:

 

Método 3

Otra forma de calcular la distancia entre rectas que se cruzan es aplicar la siguiente fórmula (necesitamos un vector y un punto de cada recta)

d(r,s) = \frac{\left| [\vec{v_r},\vec{v_s},\vec{P_rP_s}] \right|}{\left| \vec{v_r} \times \vec{v_s} \right|}

Numerador \longrightarrow valor absoluto del producto mixto
Denominador \longrightarrow módulo del producto vectorial

Veamos de dónde sale la fórmula

Distancia entre rectas que se cruzan sin cortarse

Volumen del paralelepípedo = Área de la base x altura

\text{\huge{V=A}} \cdot \text{\huge{d}}

Recordemos que el volumen se calcula con el producto mixto y la superficie con el producto vectorial

\underbrace{\left| [\vec{v_r},\vec{v_s},\vec{P_rP_s}] \right|}_{V} = \underbrace{\left| \vec{v_r} \times \vec{v_s} \right|}_{A} \cdot d

Despejando "d" se obtiene la fórmula para calcular la distancia entre rectas que se cruzan:

d(r,s) = \frac{\left| [\vec{v_r},\vec{v_s},\vec{P_rP_s}] \right|}{\left| \vec{v_r} \times \vec{v_s} \right|}

\vec{v_r} \longrightarrow vector director de la recta r
\vec{v_s} \longrightarrow vector director de la recta s
\vec{P_rP_s} \longrightarrow vector formado por un punto de cada recta.

Ver ejemplo resuelto por el método 3