Límite con parámetros

Calcula los valores reales de y para que se cumpla la siguiente igualdad: $\lim\limts_{x \rightarrow a} \frac{ax^3+a^2x^2-2a^4}{x^2-b^2}=5$

SOLUCIÓN

Si sustituimos por obtenemos:

$\lim\limts_{x \rightarrow a} \frac{ax^3+a^2x^2-2a^4}{x^2-b^2}=\frac{a \cdot a^3+a^2 \cdot a^2-2a^4}{a^2-b^2}=\frac{0}{a^2-b^2}=5$

Eso no es posible salvo que el límite de una indeterminación del tipo 0/0 por lo que $a^2-b^2=0 \longrightarrow a^2=b^2$ .

La indeterminación se resuelve dividiendo numerador y denominador por

$\lim\limts_{x \rightarrow a} \frac{ax^3+a^2x^2-2a^4}{x^2-b^2}=\lim\limts_{x \rightarrow a} \frac{\frac{ax^3+a^2x^2-2a^4}{x-a}}{\frac{x^2-b^2}{x-a}}$

Para la división del numerador podemos aplicar RuFfini

$\polyhornerscheme[x=a,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{ax^3+a^2x^2-2a^4}$

El cociente de la división es

Para la división del denominador aplicamos los productos notables

$\frac{x^2-b^2}{x-a}=\frac{x^2-a^2}{x-a}=\frac{(x+a)(x-a)}{x-a} = x+a$

Entonces el límite nos quedaría:

$\lim\limts_{x \rightarrow a} \frac{ax^2+2a^2x+2a^3}{x+a}=\frac{a \cdot a^2+2a^2 \cdot a+2a^3}{a+a} = \frac{5a^2}{2a}=\frac{5a^2}{2}$

Como tiene que valer 5 tenemos que:

$\frac{5a^2}{2}=5 \longrightarrow 5a^2=10 \longrightarrow a^2=2$

Por tanto $a^2=b^2=2 \longrightarrow \fbox{a = \pm \sqrt{2}}$ y $\fbox{b= \pm \sqrt{2}}$