Monotonía y extremos

Estudia monotonía y extremos en la función f(x)=-x^3+4x

SOLUCIÓN

Para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento seguimos el procedimiento descrito en la teoría.
f(x)=-x^3+4x
f'(x)=-3x^2+4 = 0 \rightarrow x^2=\frac{4}{3} \rightarrow x= \pm \sqrt{\frac{4}{3}}
Los intervalos a considerar serían:
\left(-\infty,-\sqrt{\frac{4}{3}}\right) \qquad \left(-\sqrt{\frac{4}{3}}, \sqrt{\frac{4}{3}} \right) \qquad \left(\sqrt{\frac{4}{3}}, +\infty \right)
Tomamos un punto de cada intervalo y le aplicamos la derivada (si da positivo crece, y si da negativo decrece)

-2 \in \left(-\infty,-\sqrt{\frac{4}{3}}\right)
f'(-2)=(-3)\cdot (-2)^2+4 = -8 < 0 \rightarrow DECRECE

 0 \in \left(-\sqrt{\frac{4}{3}}, \sqrt{\frac{4}{3}} \right)
f'(0)=(-3)\cdot (0)^2+4 = 4 > 0 \rightarrow CRECE

+2 \in \left(\sqrt{\frac{4}{3}}, +\infty \right)
f'(2)=(-3)\cdot 2^2+4 = -8 < 0 \rightarrow DECRECE

Extremos

Dado que es una función continua (es polinómica) podemos obtener los extremos a partir del estudio hecho para la monotonía.

Si CRECE en \left(-\infty,-\sqrt{\frac{4}{3}}\right) y DECRECE en  \left(-\sqrt{\frac{4}{3}}, \sqrt{\frac{4}{3}} \right) al ser continua tiene un máximo en x= -\sqrt{\frac{4}{3}}

Razonando de forma semejante vemos que tiene un mínimo en x= \sqrt{\frac{4}{3}}