Números proporcionales en progresión geométrica

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El número de canicas que tienen 3 niños son proporcionales a 4, 7 y 11. Si cada niño tuviera 5 canicas más, el número de canicas que tendrían formarían una proporción geométrica continua. ¿Cuantas canicas tienen en total?.

SOLUCIÓN

Si los números de canicas son proporcionales a 4, 7 y 11, se pueden expresar de la forma: 4k \: , \: 7k \: , \: 11k donde "k" es la constante de proporcionalidad.

i cada niño tuviera 5 canicas más, tendrían 4k+5 \: , \: 7k+5 \: , \: 11k+5

Debemos recordar que en las progresiones geométricas cada término es el anterior multiplicado por la razón:

a_n = a_{n-1} \cdot r \longrightarrow \dfrac{a_n}{a_{n-1}}=r

Es decir, si dividimos un término entre el anterior se obtiene la razón.

Si lo aplicamos a 4k+5 \: , \: 7k+5 \: , \: 11k+5 tenemos:

\dfrac{7k+5}{4k+5}=r \qquad \qquad \dfrac{11k+5}{7k+5}=r

Como ambas fracciones valen "r", podemos igualarlas

\dfrac{7k+5}{4k+5}=\dfrac{11k+5}{7k+5}


Hacemos productos cruzados y resolvemos la ecuación

(7k+5) \cdot (7k+5)=(4k+5) \cdot (11k+5)


Quitamos paréntesis operando como cualquier producto de polinomios

49k^2 + 70k + 25 = 44k^2+20k+55k+25

5k^2 -5k =0


Es una ecuación de segundo grado incompleta, que se puede resolver sacando factor común

5k^2 -5k =0 \longrightarrow k \cdot (5k-5)=0 \longrightarrow k=0 ; =1

Al ser "k" una constante de proporcionalidad, no puede valer cero, por tanto \fbox{k=1}

Primer niño tiene \longrightarrow 4 \cdot 1 = 4 canicas
Segundo niño tiene \longrightarrow 7 \cdot 1 = 7 canicas
Tercer niño tiene \longrightarrow 11 \cdot 1 = 11 canicas

En total tienen 4+7+11 = 22 canicas