Matrices, Determinantes y Sistemas

(245) ejercicios de Matemáticas PAU Andalucía

(66) ejercicios de Matemáticas II — Álgebra (Matrices, Determinantes y Sistemas)

Determina la matriz $X$ que verifica la ecuación $AX = X-B$ siendo

$A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right)$ $\qquad$ y $\qquad$
$B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{array} \right)$

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Determina una matriz $A$ simétrica ( $A$ coincide con su traspuesta) sabiendo que

$det(A) = -7$ $\qquad$ y $\qquad$ $A \cdot \left( \begin{array}{cc} 2 & 6 \\ -1 & -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} -4 & -12 \\ 1 & 3 \end{array} \right)$

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Considera el siguiente sistema de ecuaciones
$\left. \begin{array}{ccc} x+3y+z & = & 3 \\ 2x+my+z & = & m \\ 3x+5y+mz & = & 5 \end{array} \right\}$

– a) Determina, si es posible, un valor de $m$ para que el correspondiente sistema tenga una y sólo una solución.
– b) Determina, si es posible, un valor de $m$ para que el correspondiente sistema tenga al menos dos soluciones.
– c) Determina, si es posible, un valor de $m$ para que el correspondiente sistema no tenga solución.

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Considera la matriz

$A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & t & 0 \\ t & 2 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Calcula los valores de $t$ para los que el determinante de A es positivo y halla el mayor valor que alcanza dicho determinante.

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Considera la matriz

$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & \alpha \\ \alpha & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{array} \right)$

– a) Halla los valores de $\alpha$ para los que la matriz $A$ tiene inversa.
– B) Calcula, si es posible, la inversa de la matriz $A^2$ para $\alpha = 0$

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