Polinomio con raíz el doble de otra raíz

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Determine el valor de k, para que el polinomio P(x)=x^3-8x^2+9x+k, tenga una raíz igual al doble de la otra.

SOLUCIÓN

Supongamos que las raíces son a y 2a.
Entonces por el teorema del factor (basado en el teorema del resto):

P(a)=0 \longrightarrow a^3-8a^2+9a+k = 0
P(2a)=0 \longrightarrow (2a)^3-8 \cdot (2a)^2+9 \cdot 2a+k = 0

Haciendo cálculos, las ecuaciones quedarían así:

\left\{ \begin{array}{l} a^3-8a^2+9a+k = 0 \\ 8a^3- 32 a^2+ 18a+k = 0 \end{array} \right.

Podemos despejar k en ambas ecuaciones e igualar los resultados

\left\{ \begin{array}{l} k= -a^3+8a^2-9a \\ k= -8a^3+ 32 a^2- 18a \end{array} \right.

-a^3+8a^2-9a = -8a^3+ 32 a^2- 18a

Ordenamos y resolvemos la ecuación de tercer grado

7a^3-24a^2+9a = 0

a \cdot (7a^2-24a+9) = 0 \longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 0 \\ 7a^2-24a+9 = 0 \end{array} \right.

\begin{array}{ccc} & & a_1 = \frac{24+18}{14}=3\\ & \nearrow &\\ a=\frac{-(-24)\pm \sqrt{(-24)^2-4 \cdot7\cdot9}}{2 \cdot7}= \frac{24\pm \sqrt{324}}{14}& &\\ & \searrow &\\& &a_2 = \frac{24-18}{14}=\frac{3}{7}\end{array}

La raíz a=0 no nos sirve. Para cada una de las otras dos soluciones obtendremos un valor de k

a=3 \longrightarrow k= -3^3+8 \cdot 3^2-9 \cdot 3 \longrightarrow \fbox{k=18}

a=\frac{3}{7} \longrightarrow k=-\left(\frac{3}{7}\right)^3 + 8 \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^2 - 9 \cdot \frac{3}{7} \longrightarrow \fbox{k=-\dfrac{664}{343}}