Primitiva por un punto

Dada la función $f(x) = x \cdot cos \left( \frac{x}{2} \right)$ , calcula una primitiva que pase por el punto

SOLUCIÓN

En primer lugar calculamos la integral y después obtenemos la constante de integración haciéndole pasar por el punto (0,1)

$\int x \cdot cos \left( \frac{x}{2} \right)dx$

La resolvemos por el método de integración por partes

$\int \underbrace{x}_{u} \cdot \underbrace{cos \left( \frac{x}{2} \right)dx}_{dv}$

$u=x \longrightarrow du = dx$
$dv=cos \left( \frac{x}{2} \right) \longrightarrow v=\int cos \left( \frac{x}{2} \right)dx=2 \cdot \int \frac{1}{2} \cdot cos \left( \frac{x}{2} \right)dx = 2 \cdot sen\left( \frac{x}{2} \right)$

Aplicamos la fórmula de integración por partes

$\int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du$

$\int x \cdot cos \left( \frac{x}{2} \right)dx = x \cdot 2 \cdot sen\left( \frac{x}{2} \right) - \int 2 \cdot sen\left( \frac{x}{2} \right) dx=$
$= 2x \cdot sen\left( \frac{x}{2} \right) - 2 \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{2} \cdot sen\left( \frac{x}{2} \right) dx=$
$= 2x \cdot sen\left( \frac{x}{2} \right) - 2 \cdot 2 \cdot \left(-cos \left( \frac{x}{2} \right) \right)+C=$
$= 2x \cdot sen\left( \frac{x}{2} \right) +4 \cdot cos \left( \frac{x}{2} \right) +C$