Primitiva por un punto

, por dani

|

En primer lugar calculamos la integral y después obtenemos la constante de integración haciéndole pasar por el punto (0,1)

\int x \cdot cos \left( \frac{x}{2} \right)dx

La resolvemos por el método de integración por partes

\int \underbrace{x}_{u} \cdot \underbrace{cos \left( \frac{x}{2} \right)dx}_{dv}

u=x \longrightarrow du = dx
dv=cos \left( \frac{x}{2} \right) \longrightarrow v=\int cos \left( \frac{x}{2} \right)dx=2 \cdot \int \frac{1}{2} \cdot cos \left( \frac{x}{2} \right)dx = 2 \cdot sen\left( \frac{x}{2} \right)

Aplicamos la fórmula de integración por partes

\int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du

\int x \cdot cos \left( \frac{x}{2} \right)dx = x \cdot 2 \cdot sen\left( \frac{x}{2} \right) - \int 2 \cdot sen\left( \frac{x}{2} \right) dx=
= 2x \cdot sen\left( \frac{x}{2} \right) - 2 \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{2} \cdot sen\left( \frac{x}{2} \right) dx=
= 2x \cdot sen\left( \frac{x}{2} \right) - 2 \cdot 2 \cdot \left(-cos \left( \frac{x}{2} \right) \right)+C=
= 2x \cdot sen\left( \frac{x}{2} \right) +4 \cdot cos \left( \frac{x}{2} \right) +C

Por tanto, todas las primitivas de f(x) son de la forma:

= F(x)=2x \cdot sen\left( \frac{x}{2} \right) +4 \cdot cos \left( \frac{x}{2} \right) +C

Si pasa por (0,1) significa que F(0)=1

= F(0)=2 \cdot 0 \cdot sen\left( \frac{0}{2} \right) +4 \cdot cos \left( \frac{0}{2} \right) +C = 1

4 \cdot cos(0) + C = 1 \longrightarrow 4+C=1 \longrightarrow C=-3

Entonces, la primitiva que nos piden es:

\fbox{2x \cdot sen\left( \dfrac{x}{2} \right) +4 \cdot cos \left( \dfrac{x}{2} \right) -3}

Dada la función f(x) = x \cdot cos \left( \frac{x}{2} \right), calcula una primitiva que pase por el punto (0,1)