Probabilidad rango de valores

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Las probabilidades que tienen dos estudiantes R, W de resolver un mismo problema, por separado, son \frac{1}{m} y \frac{m}{5} respectivamente. Si se sabe que ambos estudiantes, trabajando al mismo tiempo (suma delas probabilidades), no logran resolverlo. Entonces, ¿cuáles valores son posibles para m?

– A) 2 y 4.
– B) 3 y 2.
– C) 4 y 3.
– D) 5 y 3.

SOLUCIÓN

La probabilidad (p) de cualquier suceso es un número comprendido entre 0 y 1
\fbox{0 \leq p \leq 1}
Esa norma se debe cumplir para ambos estudiantes por separado:
– 0 \leq \frac{1}{m} \leq 1 \longrightarrow 1 \leq m
– 0 \leq \frac{m}{5} \leq 1 \longrightarrow m \leq 5
Por tanto m es un número entre 1 y 5
Si trabajando juntos no logran resolverlo, la suma de ambas probabilidades debe ser menor que uno:

\frac{1}{m}+\frac{m}{5}<1


Haciendo la suma de fracciones obtenemos:

\frac{5+m^2}{5m}<1


5+m^2<5m


m^2-5m+5<0


Si nos atenemos a las opciones de respuesta posibles, podemos ver qué números verifican la desigualdad:
– 2^2-5 \cdot 2+5 <0 \longrightarrow -1 < 0 VERDADERO
– 3^2-5 \cdot 3+5 <0 \longrightarrow -1 < 0 VERDADERO
– 4^2-5 \cdot 4+5 <0 \longrightarrow 1 < 0 FALSO
– 5^2-5 \cdot 5+5 <0 \longrightarrow 5 < 0 FALSO

Los números 2 y 3 verifican la desigualdad, por tanto la opción correcta es la \fbox{B}

AMPLIACIÓN

Si el enunciado no nos proporcionase opciones de respuesta, deberíamos resolver la inecuación de segundo grado m^2-5m+5<0 y el conjunto de soluciones de la misma sería el conjunto de posibles valores de m

Podemos resolverla dibujando la parábola y viendo la parte que está dabajo del eje horizontal. La solución sería:

\frac{5-\sqrt{5}}{2} < m < \frac{5+\sqrt{5}}{2}


Aproximando a dos decimales obtendríamos:

1.38 < m < 3.62

\begin{array}{ccc} & & m_1 = \frac{5+\sqrt{5}}{2} \approx 3.62 \\ & \nearrow & \\ m=\frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2-4 \cdot1\cdot5}}{2 \cdot1}= \frac{5\pm \sqrt{5}}{2} & & \\ & \searrow & \\& &m_2 = \frac{5-\sqrt{5}}{2} \approx 1.38 \end{array}