Probabilidad total 3346

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Se tiene 2 urnas U_1 y U_2 cuyo contenido en bolas rojas, azules y verdes es:
en la urna U_1 4 bolas azules, 3 bolas rojas y 3 verdes, en la urna U_2 4 rojas, 5 azules y 1 verde.
Se lanzan 3 monedas y se obtienen exactamente 2 caras seguidas se extrae una bola de la urna U_1, en otro caso se extrae de la urna U_2. Se pide:

– a) Espacio muestral para el experimento aleatorio de lanzar 3 monedas.
– b) Calcular la probabilidad de que la bola extraída sea azul.

SOLUCIÓN

Al lanzar 3 monedas el espacio muestral es:
E=\{ccc, cc+, c+c, c++, +cc, +c+, ++c, +++\}
La probabilidad de obtener exactamente dos caras seguidas es \frac{2}{8}=\frac{1}{4}
La probabilidad del suceso contrario será \frac{6}{8}=\frac{3}{4}

Por tanto, la probabilidad de elegir cada urna sería:
P(U_1)=\frac{1}{4} \quad ; \quad P(U_2)=\frac{3}{4}

Si es A="sacar bola azul" y aplicamos Probabilidad total, tendremos:
P(A)=P(A/U_1) \cdot P(U_1) + P(A/U_2) \cdot P(U_2)

donde P(A/U_1)es la probabilidad de sacar bola Azul suponiendo que hemos elegido la urna U_1

Si hacemos los cálculos tendremos:
P(A)=P(A/U_1) \cdot P(U_1) + P(A/U_2) \cdot P(U_2)=
=\frac{4}{10} \cdot \frac{1}{4} + \frac{5}{10} \cdot \frac{3}{4}=\frac{4}{40} + \frac{15}{40}=\frac{19}{40}

Otra forma de calcular la probabilidad total es mediante diagrama de árbol

Para calcular la probabilidad de bola Azul, basta con sumar todas las ramas que terminan en Bola Azul y tendríamos el mismo resultado:
P(A)=\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{10} + \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{10} =\frac{4}{40} + \frac{15}{40}=\frac{19}{40}