Problema del cable

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Queremos tender un cable (color verde) tal como muestra la imagen, donde el punto D pertenece al segmento \overline{AB}

1) Dibuje tres alternativas distintas para el trazado (los dos tramos de cable deben ser rectos)
2) Sea x es la distancia del segmento \overline{AD} con un coste del cable de 10 euros / km. El tramo \overline{DC} cuesta a 14 euros /km. Haga una tabla del coste total del cable para todos los valores enteros de x
3) Use geogebra u otro software para dibujar la función y encontrar el mínimo (ahora los valores de x no tienen por qué ser enteros)

SOLUCIÓN

1) Tres posibles rutas para el cable

2) Observe en la imagen que si AB=5, entonces si AD=x tenemos que DB=5-x

Ahora podemos calcular el tramo CD por Pitágoras
d^2 = x^2 + (5-x)^2
d = \sqrt{x^2 + (5-x)^2}

El precio (P) total del cable sería:

P= 10 \cdot x + 14 \cdot \sqrt{x^2 + (5-x)^2}

– Si x=0 \longrightarrow P= 10 \cdot 0 + 14 \cdot \sqrt{0^2 + (5-0)^2} = 70 euros
– Si x=1 \longrightarrow P= 10 \cdot 1 + 14 \cdot \sqrt{1^2 + (5-1)^2} = 10+14 \sqrt{17} aproximadamente 67.723 euros
– Si x=2 \longrightarrow P=70.48 euros
– Si x=3 \longrightarrow P=80.48 euros
– Si x=4 \longrightarrow P=97.72 euros
– Si x=5 \longrightarrow P=120 euros

3)

Podemos ver en la imagen que el mínimo estaría en x=1.037 y le correspondería un coste de 67.72 euros