Problema edades padre madre e hija

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El padre, la madre y su hija están reunidos. La hija preguntó por la edad de su madre y su padre le dijo: Nuestras 3 edades suman 60 años. Como yo soy 6 veces más viejo de lo que tú eres ahora, puede decirse que cuando sea el doble de viejo que tú, nuestras 3 edades sumadas será el doble de lo que suman ahora. ¿Qué edad tiene la madre?

SOLUCIÓN

Debemos distinguir dos tiempos:
– actualmente
– dentro de x años

Llamamos p,m y h a las edades actuales de padre, madre e hija
Dentro de x años, tendrán p+x, m+x , h+x años respectivamente

padre madre hija
Hoy p m h
Dentro de x años p+x m+x h+x

Planteamos las ecuaciones relacionadas al tiempo actual

Nuestras 3 edades suman 60 años
p+m+h=60

soy 6 veces más viejo que tú
p=6 \cdot h

Planteamos también las ecuaciones relacionadas al tiempo futuro (dentro de x años)

cuando sea el doble de viejo que tú
p+x = 2 \cdot (h+x)

nuestras 3 edades sumadas será el doble de lo que suman ahora
p+x+m+x+h+x = 2 \cdot (p+m+h)

En realidad tenemos 4 ecuaciones con 4 incógnitas. Se podría resolver el sistema, pero busquemos un modo más asequible:

De la última ecuación se puede sacar el valor de x

p+m+h+3x = 2 \cdot (p+m+h)
60+3x = 2 \cdot 60
3x = 60 \longrightarrow \fbox{x=20}

Ponemos el resto de ecuaciones (sustituyendo x por 20)

\left\{ \begin{array}{l} p+m+h=60 \\ p=6 \cdot h \\ p+20 = 2 \cdot (h+20) \end{array} \left.

se podría resolver el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, sin embargo resultará más fácil resolver el sistema de las 2 últimas ecuaciones

\left\{ \begin{array}{l} p=6 \cdot h \\ p+20 = 2 \cdot (h+20) \rightarrow 6h+20=2h+40 \rightarrow 4h=20 \rightarrow \fbox{h=5} \end{array} \left.

p=6 \cdot h \longrightarrow \fbox{p=30}

Finalmente:
p+m+h=60
30+m+5=60 \longrightarrow \fbox{m=25}

Por tanto, la madre tiene 25 años