Matrices, Determinantes y Sistemas

(245) ejercicios de Matemáticas PAU Andalucía

(66) ejercicios de Matemáticas II — Álgebra (Matrices, Determinantes y Sistemas)

Considera el sistema de ecuaciones
$\left. \begin{array}{rcc} 2x-2y+4z & = & 4 \\ 2x + z & = & a \\ -3x -3y+ 3z & = & -3 \end{array} \right\}$

– a) Discútelo según los valores del parámetro $a$
– b) Resuélvelo cuando sea posible

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Sean las matrices
$A = \left( \begin{array}{cc} \alpha & 1 \\ - \alpha & 3 \end{array} \right)$

$B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 1 \\ -1 & 4 & 2 \end{array} \right)$

– a) Calcula los valores de $\alpha$ para los que la matriz inversa de A es $\frac{1}{12}A$
– b) Para $\alpha=-3$ , determina la matriz $X$ que verifica la ecuación $A^tX=B$ , siendo $A^t$ la matriz traspuesta de $A$ .

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Dadas las matrices

$A = \left( \begin{array}{ccc} \alpha & 1 & -1 \\ 1 & \alpha & -1 \\ -1 & -1 & \alpha \end{array} \right)$

$B = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$

– a) Calcula el rango de $A$ dependiendo de los valores de $\alpha$
– b) Para $\alpha=2$ , resuelve la ecuación matricial $A^tX=B$

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Considera las matrices:

$A=\left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\cr 0 & \lambda & 1\cr 0 & -1 & \lambda\end{array}\right)$
$\qquad$ y $\qquad$
$B=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 1\cr 1 & 0 & 0\cr 0 & 1 & 0\end{array}\right)$

– a) ¿Hay algún valor de $\lambda$ para el que $A$ no tiene inversa?
– b) Para $\lambda=1$ , resuelve la ecuación matricial $A^{-1}XA = B$

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Sean las matrices

$A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{array} \right)$
,
$B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right)$
y
$C = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 2\\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right)$

Calcula la matriz $X$ que cumpla la ecuación $AXB = C$

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