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Selectividad Andalucía 2011-1-A3

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Considera las matrices:

A=\left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\cr 0 & \lambda & 1\cr 0 & -1 & \lambda\end{array}\right)
\qquad y \qquad
B=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 1\cr 1 & 0 & 0\cr 0 & 1 & 0\end{array}\right)

– a) ¿Hay algún valor de \lambda para el que A no tiene inversa?
– b) Para \lambda=1, resuelve la ecuación matricial A^{-1}XA = B

SOLUCIÓN

– a) No hay A^{-1} cuando |A| = 0

|A|=\lambda^2+1 = 0

No hay soluciones reales, por tanto no hay ningún valor real de \lambda para el que A no tenga inversa.

– b) A^{-1}XA = B
AA^{-1}XAA^{-1} = ABA^{-1}
X = ABA^{-1}

A^{-1}=\left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\cr 0 & 1/2 & -1/2 \cr 0 & 1/2 & 1/2 \end{array}\right)

X = ABA^{-1} = \left( \begin{array}{ccc}0 & 1/2 & 1/2\cr 1 & 1/2 & -1/2 \cr -1 & 1/2 & -1/2 \end{array}\right)