Problemas Resolución de Triángulos

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Hemos colocado un cable sobre un mástil, según la figura. ¿Cuánto miden el cable y el mástil?

SOLUCIÓN

En primer lugar ponemos nombre a los lados desconocidos

Es un problema clásico que se resuelve con un sistema de ecuaciones (usando las tangentes).

tg (45) = \frac{a}{x}
tg(30) = \frac{a}{20-x}

Tenemos un sistema formado por dos ecuaciones y dos incógnitas: a y x

Sustituimos las tangentes por sus valores

\left. 1 = \frac{a}{x} \atop \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a}{20-x} \right\}

\left. x=a \atop \sqrt{3} \cdot (20-x) = 3a \right\} \longrightarrow 20 \sqrt{3} - \sqrt{3}x = 3x \longrightarrow x=\frac{20 \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = 7.32 \cdots \: m

Como a=x tenemos que la altura es aproximadamente 7.32 metros.

Para calcular la longitud del cable, debemos calcular b y c y sumarlos.
Podemos usar el teorema de Pitágoras.

b^2 = x^2 + a^2


b^2 = 2x^2


b^2 = 2 \cdot \left( \frac{20 \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \right)^2 \longrightarrow b\approx 10.35 \: m

Procediendo de forma similar obtenemos que c \approx 14.64 \: m

Por tanto, el cable mide aproximadamente 10.35 + 14.64 = 24.99 metros