Producto de matrices

Producto de matrices

- No siempre es posible el producto de matrices.
- Para poder multiplicar dos matrices, el nº de columnas de la primera debe ser igual al nº de filas de la segunda
- El producto de matrices no es conmutativo

Producto de matrices

Condiciones para el producto de matrices

Una vez que sabemos la dimensión de la matriz producto, calculamos cada uno de sus elementos de la siguiente forma:

c_{ij} \rightarrow fila i de la 1ª matriz \times columna j de la 2ª matriz

Ejemplo:
c_{23} = fila 2 de la 1ª matriz \times columna $3$ de la 2ª matriz
c_{23} = 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 = 12 + 10 = 22

Procedimiento para multiplicar matrices

\left(
\begin{array}{cc}
     1 & 2
  \\ 4 & 5
  \\ 7 & 8
\end{array}
\right) \cdot \left(
\begin{array}{ccc}
     1 & 2 & 3
  \\ 0 & 5 & 2
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{ccc}
     c_{11} & c_{12} & c_{13}
  \\ c_{21} & c_{22} & \fbox{22}
  \\ c_{31} & c_{32} & c_{33}
\end{array}
\right)

Calculamos todos los elementos de la matriz producto:

\begin{array}{ccc}
     c_{11}=1\cdot1+2\cdot0 & c_{12}=1\cdot2+2\cdot5 & c_{13}=1\cdot3+2\cdot2
  \\ c_{21}=4\cdot1+5\cdot0 & c_{22}=4\cdot2+5\cdot5 & c_{23}=4\cdot3+5\cdot2
  \\ c_{31}=7\cdot1+8\cdot0 & c_{32}=7\cdot2+8\cdot5 & c_{33}=7\cdot3+8\cdot2
\end{array}

Finalmente nos queda el resultado:

\left(
\begin{array}{cc}
     1 & 2
  \\ 4 & 5
  \\ 7 & 8
\end{array}
\right) \cdot \left(
\begin{array}{ccc}
     1 & 2 & 3
  \\ 0 & 5 & 2
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{ccc}
     1 & 12 & 7
  \\ 4 & 33 & 22
  \\ 7 & 54 & 37
\end{array}
\right)

Propiedades importantes:

- El producto de matrices no es conmutativo: A \cdot B \neq B \cdot A
- El producto de matrices no es simplificable:
A \cdot B = A \cdot C no implica B=C

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