Recta tangente a función

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Calcula el valor de b para que la recta y=6x+b sea tangente a la curva f(x)=3x^2+5

SOLUCIÓN

– Una recta y=mx+n tiene de pendiente m, por tanto la recta y=6x+b tiene por pendiente 6.
– Sabemos por otra parte, que la pendiente de la recta tangente es la derivada, por tanto l, para que sea tangente, la derivada debe valer 6 en algún punto:
f\textsc{\char13}(x)=6 \Rightarrow 6x=6 \Rightarrow x=1
Es decir, será tangente en el punto de abcisa x=1.

Ahora podemos seguir varios razonamientos:

– Método 1: Hallamos la ecuación de la recta tangente en $x=1$ aplicando la fórmula:
y-f(1) = f\textsc{\char13}(1)(x-1)
y-8=6(x-1) \Rightarrow y-8=6x-6 \Rightarrow y=6x+2
Como la tg es y=6x+n tenemos que \fbox{b=2}

– Método 2: En x=1 hay un punto de tangencia, lo que quiere decir que su imagen será la misma por la función que por la recta (al ser tangencia coinciden).
f(1) = y(1) \Rightarrow 3(1)^2+5 = 6 \cdot 1 + b \Rightarrow \fbox{b=2}