Resolver un triángulo

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En la imagen aparece un triángulo rectángulo de vértices A, B y C (rectángulo en C), que además es isósceles (ambos catetos miden igual). Si conocemos el valor de b y los ángulos \beta_1 y \beta_2, ¿se podría calcular la distancia entre los puntos A y O? En caso afirmativo, expresa dicha distancia en función de los datos conocidos.

SOLUCIÓN

El triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90º y dos de 45º (por ser isósceles).
Si nos centramos en el triángulo de vértices A, B y O observamos que podemos calcular sus ángulos:

Los ángulos 45-\beta_1 y 45+\beta_2 son fáciles de detectar.
Para el tercer ángulo aplicamos que la suma de los ángulos de un triangulo es 180º, por tanto sería:
180 - [(45-\beta_1)+(45+\beta_2)] = 90 + \beta1 - \beta2

Para resolver un triángulo no basta con conocer sus tres ángulos, necesitamos al menos uno de los lados.
Se puede calcular el lado D aplicando Pitágoras al triángulo rectángulo ABC:
D^2 = b^2+b^2
D^2 = 2b^2
D = \sqrt{2b^2}
D = \sqrt{2} \cdot b

Teniendo los tres ángulos y un lado, podemos resolver el triángulo AOB aplicando el teorema de los senos.
Aplicamos la parte que nos interesa (para calcular AO):
\frac{D}{sen (90 + \beta1 - \beta2)}=\frac{\overline{AO}}{sen(45+\beta_2)}

De donde:

\overline{AO} = \frac{D \cdot sen(45+\beta_2)}{sen (90 + \beta1 - \beta2)}

Si sustituimos D por su valor, obtenemos:

\overline{AO} = \frac{b\sqrt{2} \cdot sen(45+\beta_2)}{sen (90 + \beta1 - \beta2)}

La fórmula anterior ya es perfectamente válida.
No obstante, si nos pidieran intentar simplificarla, aplicaríamos la fórmula del seno de una suma: \fbox{sen(a+b) = sen(a) \cdot cos(b) + cos(a) \cdot sen(b)}

sen(45+\beta_2) = sen(45) \cdot cos(\beta_2) + cos(45) \cdot sen(\beta_2) =
= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot cos(\beta_2) + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot sen(\beta_2) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (cos(\beta_2)+sen(\beta_2))

Igualmente:
sen(90+(\beta_1-\beta_2)) = sen(90) \cdot cos(\beta_1-\beta_2) + cos(90) \cdot sen(\beta_1-\beta_2)=
= 1 \cdot cos(\beta_1-\beta_2) + 0 \cdot sen(\beta_1-\beta_2)=
= cos(\beta_1-\beta_2)

La longitud del segmento AO quedaría:

\overline{AO} = \frac{b\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (cos \: \beta_2 + sen \: \beta_2)}{cos ( \beta1 - \beta2)}

Simplificando tendríamos:

\overline{AO} = \frac{b \cdot (cos \: \beta_2 + sen \: \beta_2)}{cos ( \beta1 - \beta2)}

Como vemos no se ha simplificado la primera fórmula que obtuvimos, aunque matemáticamente es más elegante.