Selectividad Andalucía 2001-1-B4

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Considera los puntos:

A(1,0,3) , B(3,-1,0) , C(0,-1,2) y D(a,b,-1)

Halla a y b sabiendo que la recta que pasa por A y B corta perpendicularmente a la recta que pasa por C y D

SOLUCIÓN

Si la recta que pasa por A y B corta perpendicularmente a la que pasa por C y D, entonces los vectores \vec{AB} y \vec{CD} son perpendiculares

\vec{AB} \perp \vec{CD} \Longrightarrow \vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0
\vec{AB}=(2,-1,-3)
\vec{CD}=(a,b+1,-3)
2a + (-1)(b+1)+(-3)(-3)=0 \Longrightarrow 2a-b=-8

Necesitamos una segunda ecuación. Usaremos el dato de la posición relativa de dos rectas en el espacio (que en nuestro caso deben ser secantes).

Los vectores que necesitamos son: \vec{AB} , \vec{CD} y \vec{AC}.

Para que las rectas no e crucen, el determinante de la matriz formada por los 3 vectores debe ser cero.
De esta relación obtenemos la segunda ecuación: 2a-b-14=0

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones, obtenemos:
a=\frac{-27}{4} ; b=\frac{-11}{2}