Selectividad Andalucía 2002-1-A3

, por dani

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Asignamos incógnitas a los datos que nos piden (los precios)

– Precio de la empresa A \longrightarrow a
– Precio de la empresa B \longrightarrow b
– Precio de la empresa C \longrightarrow c

– El precio de la empresa A es 0,6 euros menos que la media de los precios establecidos por B y C.

a + 0.6 = \frac{b+c}{2}

– El precio dado por B es la media de los precios de A y C.

b = \frac{a+c}{2}

El precio de la empresa C es igual a 2 euros mas 2/5 del precio dado por A mas 1/3 del precio dado por B.

c = 2 + \frac{2}{5} \cdot a + \frac{1}{3} \cdot b

Tenemos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que debemos ordenar antes de resolver

\left\{ \begin{array}{lcl} a + 0.6 = \frac{b+c}{2} &\longrightarrow &2(a+0.6)=b+c \longrightarrow 2a-b-c=-1.2 \\ b = \frac{a+c}{2} &\longrightarrow & 2b=a+c \longrightarrow -a+2b-c=0 \\ c = 2 + \frac{2}{5}\cdot a + \frac{1}{3} \cdot b &\longrightarrow & \end{array}\right.

c = 2 + \frac{2a}{5} + \frac{b}{3}
\frac{15c}{15} = \frac{30}{15} + \frac{6a}{15} + \frac{5b}{15}
15c = 30 + 6a + 5b \longrightarrow -6a-5b+15c=30

El sistema quedaría así:

\left\{ \begin{array}{l} 2a-b-c=-1.2 \\ -a+2b-c=0 \\ -6a-5b+15c=30 \end{array}\right.

Podemos resolverlo por Gauss, por sustitución, etc. En este caso, vamos a resolver por sustitución.

Despejamos en la primera ecuación:
2a-b-c=-1.2 \longrightarrow \fbox{2a-b+1.2 = c}

Y sustituimos en las otras dos ecuaciones:

\left\{ \begin{array}{l} -a+2b-(2a-b+1.2)=0 \\ -6a-5b+15 \cdot (2a-b+1.2)=30 \end{array}\right.

Quitamos paréntesis y ordenamos:

\left\{ \begin{array}{l} -3a+3b=1.2 \\ 24a-20b=12 \end{array}\right.

Vamos a resolver por reducción (multiplicamos la primera ecuación por 8 y sumamos ambas ecuaciones)

\begin{array}{l} -\cancel{24a}+24b=9.6 \\ \cancel{24a}-20b=12 \\ \hline \quad \qquad 4b=21.6 \end{array}

4b=21.6 \longrightarrow b=\frac{21.6}{4} \longrightarrow \color{blue}{b=5.4}

Ahora calculamos a en una de las dos ecuaciones

-3a+3b=1.2
-3a+3 \cdot 5.4=1.2
-3a=-15 \longrightarrow \color{blue}{a=5}

Finalmente obtenemos c (que estaba despejado al principio)

c=2a-b+1.2 = 2 \cdot 5 - 5.4 + 1.2 = 5.8 \longrightarrow \color{blue}{c=5.8}

Por tanto, el precio dado por cada empresa es:

– Empresa A \longrightarrow 5 euros
– Empresa B \longrightarrow 5.40 euros
– Empresa C \longrightarrow 5.80 euros

En el sector de las aceitunas sin hueso, tres empresas A, B y C, se encuentran en competencia. Calcula el precio por unidad dado por cada empresa sabiendo que verifican las siguientes relaciones:
– El precio de la empresa A es 0,6 euros menos que la media de los precios establecidos por B y C.
– El precio dado por B es la media de los precios de A y C.
– El precio de la empresa C es igual a 2 euros mas 2/5 del precio dado por A mas 1/3 del precio dado por B.