Selectividad Andalucía 2011-Junio-A1

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Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total igual a 54 \: m^2. Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que este tenga volumen máximo.

SOLUCIÓN

Necesitamos recordar algunos conocimientos previos:
– Área del círculo: \pi R^2
– Longitud de la circunferencia: 2 \pi R
– Volumen del cilindro: Área_base · Altura: \pi R^2 \cdot H
– Área del cilindro: 1 rectángulo + 2 círculos: 2 \pi R \cdot H + 2 \cdot \pi R^2

Datos del problema:
– Área del cilindro es 54

2 \pi R \cdot H + 2 \cdot \pi R^2 = 54


– El volumen debe ser máximo

Volumen = \pi R^2 \cdot H

La función a maximizar (el volumen) tiene dos variables: R y H.
Debemos expresarlo con una sola variable.
Para ello, debemos poner una variable en función de otra. Nos ayudamos de la fórmula del área: 2 \pi R \cdot H + 2 \cdot \pi R^2 = 54 , donde despejaremos H

H=\frac{54-2 \pi R^2}{2 \pi R}


Sustituimos en el volumen, con lo cual nos quedará ya una función con una sola variable

Volumen \rightarrow V(r)=\pi R^2 \cdot \frac{54-2 \pi R^2}{2 \pi R}


Simplificando y ordenando nos queda:

V(r) = -\pi R^3+27R


Para buscarle un máximo debemos igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación. Las soluciones serán los candidatos a máximos y mínimos.
Aplicándole la segunda derivada (y mirando su signo), sabremos si ese máximo o mínimo.

V^{\prime}(r) = -3 \pi R^2 + 27 = 0 \Rightarrow R = \pm \frac{3}{\sqrt{\pi}}


Podemos descartar la solución negativa por ser $R$ una longitud.

V^{\prime\prime}(r)=-6 \pi R
V^{\prime\prime}(\frac{3}{\sqrt{\pi}}) < 0 \Longrightarrow \frac{3}{\sqrt{\pi}} es MÁXIMO

Ya conocemos el radio R = \frac{3}{\sqrt{\pi}}=\frac{3 \sqrt{\pi}}{\pi},
ahora calculamos la altura H

H=\frac{54-2 \pi R^2}{2 \pi R}=\frac{54-2 \pi \left( \frac{3}{\sqrt{\pi}} \right)^2}{2 \pi \cdot \frac{3}{\sqrt{\pi}}} \Rightarrow H=\frac{6 \sqrt{\pi}}{\pi}