Selectividad Andalucía 2012-1-A4

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El punto es el centro de un paralelogramo y y son dos vértices consecutivos del mismo.

– (a) Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo.
– (b) Determina uno de los otros dos vértices y calcula el área de dicho paralelogramo.

SOLUCIÓN

Consideremos el siguiente diagrama:

– a) Tenemos 3 puntos del plano (A, B y M), por tanto podemos tener dos vectores independientes y un punto (y con ellos la ecuación del plano).

Tomamos como vectores $\vec{MA}=(1,2,-1)$ y $\vec{MB}=(-1,-1,3)$ y como punto

$\pi: \left| \begin{array}{ccc} x-1 & y+1 & z-0 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \end{array} \right| = 0$

Resolviendo el determinante y simplificando obtenemos:
$\fbox{5x-2y+z-7=0}$

– b) Para calcular los vértices C y D podemos aprovechar la fórmula del punto medio de un segmento. es el punto medio del segmento $\overline{AC}$

$(m_1, m_2, m_3) = \left( \frac{a_1+c_1}{2} ,\frac{a_2+c_2}{2} , \frac{a_3+c_3}{2} \right)$
$(1, -1, 0) = \left( \frac{2+c_1}{2} ,\frac{1+c_2}{2} , \frac{-1+c_3}{2} \right)$
Igualando componente a componente obtenemos 3 ecuaciones (de las que se obtienen los valores de las incógnitas , y
$1 = \frac{2+c_1}{2} \Longrightarrow c_1=0$
$-1 = \frac{1+c_2}{2} \Longrightarrow c_2=-3$
$0 = \frac{-1+c_3}{2} \Longrightarrow c_3=1$
Por tanto, el punto es

Análogamente podemos obtener el punto , tomando como punto medio del segmento $\overline{BD}$ .
Se obtiene

El área del paralelogramo viene determinada por el módulo del vector producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AC}$
$A = |\vec{AB} \times \vec{AC}|$

$\vec{AB} \times \vec{AC}= \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} &\vec{j} &\vec{k} \\ -2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 \end{array} \right| = 10\vec{i} -4\vec{j} + 2\vec{k}$

$A = |(10,-4,2)| = \sqrt{10^2+(-4)^2+2^2} = \sqrt{120}$ unidades cuadradas

SOLUCIÓN

Palabras clave