Selectividad Andalucía 2013-2-A3

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Considera las matrices

A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right) y
B = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right)

– (a) Halla, si es posible, A^{-1} y B^{-1}
– (b) Halla el determinante de A B^{2013} A^t siendo A^t la matriz traspuesta de A
– (c) Calcula la matriz X que satisface AX - B = AB

SOLUCIÓN

– a) A^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ -1 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{array} \right)

La matriz B no tiene inversa porque |B|=0

– b) |A \cdot B^{2013} \cdot A^t| =
|A| \cdot |B^{2013}| \cdot |A^t| =
2 \cdot |B|^{2013} \cdot 2 =
2 \cdot 0^{2013} \cdot 2 = 0

– c) AX - B = AB
AX = AB + B
A^{-1}AX = A^{-1}(AB + B)
X = A^{-1}(AB + B)
X = B + A^{-1}B

Haciendo las operaciones queda:

X = \left( \begin{array}{ccc} -2 & 2 & \frac{5}{2} \\ 3 & -3 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & \frac{-3}{2} \end{array} \right)