Selectividad Andalucía 2019 Junio A1

Miércoles 12 de junio de 2019, por dani

$f(x)=\frac{x^2+3x+4}{2x+2}$ para $x \neq -1$

Asíntotas VERTICALES
En las funciones racionales buscamos las asíntotas verticales en los números que anulan el denominador.
$2x+2=0 \Rightarrow 2x=-2 \Rightarrow x=-1$
$\lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^2+3x+4}{2x+2} = \frac{(-1)^2+3 \cdot (-1)+4}{2 \cdot (-1)+2} = \frac{2}{0}$
Indeterminación que se resuelve tomando límites laterales
Este tipo de límites tienden a infinito por lo que tenemos una asíntota vertical en
$\fbox{x=-1}$
El enunciado nos pide, además de calcular las asíntotas, que las estudiemos por lo que debemos estudiar el comportamiento de la función respecto a la asíntota

$\lim_{x \rightarrow -1^{-}} \frac{x^2+3x+4}{2x+2} = -\infty$
(basta con sustituir x por números cercanos a -1 por la izquierda , por ejemplo -1.001)
$\lim_{x \rightarrow -1^{+}} \frac{x^2+3x+4}{2x+2} = +\infty$
(basta con sustituir x por números cercanos a -1 por la izquierda , por ejemplo -0.999)

Asíntotas HORIZONTALES
$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+3x+4}{2x+2} = \infty$
Como se obtiene un infinito (grado numerador > grado denominador) no hay asíntotas horizontales.

Asíntotas OBLICUAS
Al no haber asíntotas horizontales, puede haber asíntota oblicua.
La asíntota oblicua de una función es una recta de ecuación , donde m y n vienen dadas por las expresiones siguientes:

$m = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}$
$n = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left[f(x) -mx\right]$

$m = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{x^2+3x+4}{2x+2}}{x}= \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+3x+4}{2x^2+2x}=\frac{1}{2}$

$n = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left[\frac{x^2+3x+4}{2x+2} -\frac{x}{2} \right] = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{4x+8}{4x+4}=1$
Por tanto la asíntota oblicua es:

$y = \frac{1}{2}x+1$

Posición de la función respecto de la asíntota oblicua

Primero calculamos los posibles puntos de corte (para saber si la función corta a la asíntota)
$\frac{x^2+3x+4}{2x+2} = \frac{1}{2}x+1$
Resolvemos la ecuación y vemos que no tiene soluciones, por tanto la función no corta a la asíntota.

Ahora estudiamos el signo de (función - asíntota). Cuando sea positivo la función estará por encima y cuando sea negativo estará por debajo.
$\frac{x^2+3x+4}{2x+2} - \frac{1}{2}x+1 = \frac{2}{2x+2}$
(he omitido los cálculos para no hacerlo muy extenso)
El signo de $\frac{2}{2x+2}$ será positivo cuando y negativo cuando
Por tanto será positivo cuando y negativo cuando

– Cuando la función estará por encima de la asíntota
– Cuando la función estará por debajo de la asíntota

La función sería de la forma:

b) Para estudiar la monotonía de la función debemos resolver la ecuación $f\textsc{\char13}(x)=0$

$f\textsc{\char13}(x)=\frac{(2x+3) \cdot (2x+2) - (x^2+3x+4) \cdot 2}{(2x+2)^2}$
$f\textsc{\char13}(x)=\frac{4x^2+4x+6x+6-2x^2-6x-8}{(2x+2)^2}$
$f\textsc{\char13}(x)=\frc{2x^2+4x-2}{(2x+2)^2}$

$f\textsc{\char13}(x)=0 \longrightarrow \frac{2x^2+4x-2}{(2x+2)^2}=0 \longrightarrow 2x^2+4x-2=0$
Resolvemos la ecuación de segundo grado y obtenemos como soluciones:
$x= -1 \pm \sqrt{2}$
Esas soluciones y el punto (x=-1) donde no hay función nos dividen la recta real en varios intervalos
$\begin{array}{c|c|c|c} (-\infty,-1-\sqrt{2}) & (-1-\sqrt{2},-1) & (-1, -1+\sqrt{2}) & (-1+\sqrt{2}, +\infty) \\ \hline & & & \\ \end{array}$
Debemos comprobar el signo de $f\textsc{\char13}(x)$ en cada uno de los intervalos.
Cuando sea positivo la función CRECE y cuando sea negativo DECRECE
– $f\textsc{\char13}(-3)=\frac{2 \cdot (-3)^2+4 \cdot (-3) -2}{(2 \cdot (-3)+2)^2} >0 \Rightarrow$ CRECE
– $f\textsc{\char13}(-2)=\frac{2 \cdot (-2)^2+4 \cdot (-2) -2}{(2 \cdot (-2)+2)^2} <0 \Rightarrow$ DECRECE
– $f\textsc{\char13}(0)=\frac{2 \cdot 0^2+4 \cdot 0 -2}{(2 \cdot 0+2)^2} <0 \Rightarrow$ DECRECE
– $f\textsc{\char13}(3)=\frac{2 \cdot 3^2+4 \cdot 3 -2}{(2 \cdot 3+2)^2} >0 \Rightarrow$ CRECE
$\begin{array}{c|c|c|c} (-\infty,-1-\sqrt{2}) & (-1-\sqrt{2},-1) & (-1, -1+\sqrt{2}) & (-1+\sqrt{2}, +\infty) \\ \hline \nearrow & \searrow & \searrow & \nearrow \\ \end{array}$