Selectividad Andalucía 2019 Junio A1

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Considera la función f definida por
f(x)=\frac{x^2+3x+4}{2x+2} para x \neq -1

– a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f.
– b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.

SOLUCIÓN

f(x)=\frac{x^2+3x+4}{2x+2} para x \neq -1

Asíntotas VERTICALES
En las funciones racionales buscamos las asíntotas verticales en los números que anulan el denominador.
2x+2=0 \Rightarrow 2x=-2 \Rightarrow x=-1
\lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^2+3x+4}{2x+2} = \frac{(-1)^2+3 \cdot (-1)+4}{2 \cdot (-1)+2} = \frac{2}{0}
Indeterminación que se resuelve tomando límites laterales
Este tipo de límites tienden a infinito por lo que tenemos una asíntota vertical en
\fbox{x=-1}
El enunciado nos pide, además de calcular las asíntotas, que las estudiemos por lo que debemos estudiar el comportamiento de la función respecto a la asíntota

\lim_{x \rightarrow -1^{-}} \frac{x^2+3x+4}{2x+2} = -\infty
(basta con sustituir x por números cercanos a -1 por la izquierda , por ejemplo -1.001)
\lim_{x \rightarrow -1^{+}} \frac{x^2+3x+4}{2x+2} = +\infty
(basta con sustituir x por números cercanos a -1 por la izquierda , por ejemplo -0.999)

Asíntotas HORIZONTALES
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+3x+4}{2x+2} = \infty
Como se obtiene un infinito (grado numerador > grado denominador) no hay asíntotas horizontales.

Asíntotas OBLICUAS
Al no haber asíntotas horizontales, puede haber asíntota oblicua.
La asíntota oblicua de una función f(x) es una recta de ecuación y=mx+n , donde m y n vienen dadas por las expresiones siguientes:

m = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}
n = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left[f(x) -mx\right]

m = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{x^2+3x+4}{2x+2}}{x}= \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+3x+4}{2x^2+2x}=\frac{1}{2}

n = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left[\frac{x^2+3x+4}{2x+2} -\frac{x}{2} \right] = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{4x+8}{4x+4}=1
Por tanto la asíntota oblicua es:

y = \frac{1}{2}x+1

Posición de la función respecto de la asíntota oblicua

Primero calculamos los posibles puntos de corte (para saber si la función corta a la asíntota)
\frac{x^2+3x+4}{2x+2} = \frac{1}{2}x+1
Resolvemos la ecuación y vemos que no tiene soluciones, por tanto la función no corta a la asíntota.

Ahora estudiamos el signo de (función - asíntota). Cuando sea positivo la función estará por encima y cuando sea negativo estará por debajo.
\frac{x^2+3x+4}{2x+2} - \frac{1}{2}x+1 = \frac{2}{2x+2}
(he omitido los cálculos para no hacerlo muy extenso)
El signo de \frac{2}{2x+2} será positivo cuando 2x+2>0 y negativo cuando 2x+2<0
Por tanto será positivo cuando x>-1 y negativo cuando x<-1

– Cuando x>-1 la función estará por encima de la asíntota
– Cuando x<-1 la función estará por debajo de la asíntota

La función sería de la forma:

b) Para estudiar la monotonía de la función debemos resolver la ecuación f\textsc{\char13}(x)=0

f\textsc{\char13}(x)=\frac{(2x+3) \cdot (2x+2) - (x^2+3x+4) \cdot 2}{(2x+2)^2}
f\textsc{\char13}(x)=\frac{4x^2+4x+6x+6-2x^2-6x-8}{(2x+2)^2}
f\textsc{\char13}(x)=\frc{2x^2+4x-2}{(2x+2)^2}

f\textsc{\char13}(x)=0 \longrightarrow \frac{2x^2+4x-2}{(2x+2)^2}=0 \longrightarrow 2x^2+4x-2=0
Resolvemos la ecuación de segundo grado y obtenemos como soluciones:
x= -1 \pm \sqrt{2}
Esas soluciones y el punto (x=-1) donde no hay función nos dividen la recta real en varios intervalos
\begin{array}{c|c|c|c} (-\infty,-1-\sqrt{2}) & (-1-\sqrt{2},-1) & (-1, -1+\sqrt{2}) & (-1+\sqrt{2}, +\infty) \\ \hline & & & \\ \end{array}
Debemos comprobar el signo de f\textsc{\char13}(x) en cada uno de los intervalos.
Cuando sea positivo la función CRECE y cuando sea negativo DECRECE
– f\textsc{\char13}(-3)=\frac{2 \cdot (-3)^2+4 \cdot (-3) -2}{(2 \cdot (-3)+2)^2} >0 \Rightarrow CRECE
– f\textsc{\char13}(-2)=\frac{2 \cdot (-2)^2+4 \cdot (-2) -2}{(2 \cdot (-2)+2)^2} <0 \Rightarrow DECRECE
– f\textsc{\char13}(0)=\frac{2 \cdot 0^2+4 \cdot 0 -2}{(2 \cdot 0+2)^2} <0 \Rightarrow DECRECE
– f\textsc{\char13}(3)=\frac{2 \cdot 3^2+4 \cdot 3 -2}{(2 \cdot 3+2)^2} >0 \Rightarrow CRECE
\begin{array}{c|c|c|c} (-\infty,-1-\sqrt{2}) & (-1-\sqrt{2},-1) & (-1, -1+\sqrt{2}) & (-1+\sqrt{2}, +\infty) \\ \hline \nearrow & \searrow & \searrow & \nearrow \\ \end{array}