Cálculo de límites de funciones racionales (II)

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Cálculo de límites de funciones racionales cuando x tiende a un número

Caso \frac{a}{0}

Cuando al calcular el límite de un cociente de polinomios obtenemos un resultado del tipo \frac{a}{0}, estamos ante una Indeterminación que se resuelve calculando límites laterales.

Este tipo de límites tienden a infinito, pero eso no significa que su límite sea infinito, porque los límites laterales pueden ser distintos (por ejemplo uno puede tender a +infinito y otro a -infinito).

Si dibujamos la gráfica de la función \frac{x+1}{x-2}

podemos observar que el límite cuando x tiende a 2 por la derecha es +infinito y cuando tiende a 2 por la izquierda es -infinito

– \lim\limits_{x \rightarrow 2^+} \frac{x+1}{x-2} = +\infty
– \lim\limits_{x \rightarrow 2^-} \frac{x+1}{x-2} = -\infty

Vamos a calcularlo suponiendo que no conocemos la gráfica.
Nos piden calcular \lim\limits_{x \rightarrow 2} \frac{x+1}{x-2}
Cuando sustituimos x por 2 obtenemos
\lim\limits_{x \rightarrow 2} \frac{x+1}{x-2} = \frac{2+1}{2-2}=\frac{3}{0}
Por tanto debemos calcular límites laterales.
Un truco para calcular los límites laterales consiste en tomar un número muy próximo a 2 (por la izquierda y por la derecha) y observar si el resultado se hace excesivamente grande y positivo (tendería a +inf), o excesivamente grande y negativo (tendería a -inf).

Próximo a 2 por la derecha, por ejemplo 2.00001
\frac{2.00001+1}{2.00001-2} = 300001
Por tanto \lim\limits_{x \rightarrow 2^+} \frac{x+1}{x-2} = +\infty

Próximo a 2 por la izquierda, por ejemplo 1.99999
\frac{1.99999+1}{1.99999-2} = -299999
Por tanto \lim\limits_{x \rightarrow 2^-} \frac{x+1}{x-2} = -\infty