Selectividad Murcia Junio 2012 B3

Dada la función $f(x)=\frac{\sqrt{x^2-9}}{x-1}$ , se pide:
a) Dominio de definición y puntos de corte con los ejes.
b) Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos).
d) Representación gráfica aproximada.

SOLUCIÓN

Dominio

El radicando de $\sqrt{x^2-9}$ no puede ser negativo.

Resolviendo la inecuación $x^2-9 \geq 0$ se obtienen como solución $(-\infty,-3] \cup [3,+\infty)$ >

El denominador tampoco puede ser cero: $x-1=0 \longrightarrow x=1$ , aunque en este caso no influye.

Por tanto el dominio es $Dom(f)=\textcolor{blue}{(-\infty,-3] \cup [3,+\infty)}$

Corte con los ejes

Si $x=0 \longrightarrow$ No puede tomar el valor 0 porque no está en el dominio, por tanto no hay corte con el eje $\vec{OY}$

Si $y=0 \longrightarrow 0=\frac{\sqrt{x^2-9}}{x-1} \longrightarrow \sqrt{x^2-9}=0 \longrightarrow$
$x^2-9=0 \longrightarrow x=\pm 3$
Los puntos de corte son $\textcolor{blue}{(3,0)}$ y $\textcolor{blue}{(-3,0)}$

Asíntotas verticales

No tiene asíntotas verticales.

Asíntotas horizontales

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \: \frac{\sqrt{x^2-9}}{x-1} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \: \frac{\sqrt{x^2}}{x-1} =\lim_{x \rightarrow +\infty} \: \frac{x}{x-1} =1$

$\lim_{x \rightarrow -\infty} \: \frac{\sqrt{x^2-9}}{x-1} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \: \frac{\sqrt{(-x)^2}}{-x-1} =$
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \: \frac{\sqrt{x^2}}{-x-1}=\lim_{x \rightarrow +\infty} \: \frac{x}{-x-1} =-1$

Para calcular los límites anteriores he usado estas propiedades:
– Cálculo de límites de funciones irracionales (II)
– Cálculo de límites de funciones irracionales (III)

La función tiene dos asíntotas horizontales:
$\textcolor{blue}{y=1}$ por la derecha ( $\longrightarrow +\infty$ )
$\textcolor{blue}{y=-1}$ por la izquierda ( $\longrightarrow -\infty$ )

Asíntotas oblicuas

No tiene asíntotas oblicuas (incompatibles con las horizontales)

Monotonía y extremos

$f^{\prime}(x)= \frac{\frac{x(x-1)}{\sqrt{x^2-9}} - \sqrt{x^2-9}}{(x-1)^2}=\frac{x(x-1)-(x^2-9)}{\sqrt{x^2-9} \cdot (x-1)^2}=$

$\frac{x^2-x-x^2+9}{\sqrt{x^2-9} \cdot (x-1)^2}=\frac{-x+9}{\sqrt{x^2-9} \cdot (x-1)^2}$

$f^{\prime}(x)=0 \rightarrow \frac{-x+9}{\sqrt{x^2-9} \cdot (x-1)^2}=0 \rightarrow -x+9=0 \rightarrow x=9$

Los intervalos a considerar son:

$(-\infty,-3) \qquad (3,9) \qquad (9,+\infty)$

Para comprobar si crece (o decrece), analizamos el signo de la derivada en cada uno de los intervalos.
$f^{\prime}(x)=\frac{-x+9}{\sqrt{x^2-9} \cdot (x-1)^2}$
Observe que el denominador es siempre positivo, por tanto basta con analizar el signo del numerador

$f^{\prime}(-4)=\frac{-(-4)+9}{\sqrt{(-4)^2-9} \cdot (-4-1)^2}>0 \longrightarrow$ CRECE en $(-\infty,-3)$

$f^{\prime}(4)=\frac{-4+9}{\sqrt{(4)^2-9} \cdot (4-1)^2}>0 \longrightarrow$ CRECE en

$f^{\prime}(10)=\frac{-10+9}{\sqrt{(-10)^2-9} \cdot (-10-1)^2}<0 \longrightarrow$ DECRECE en $(9, +\infty)$

A la izquierda de 9 crece y a la derecha decrece, junto con la continuidad de la función, garantizan que hay un máximo en x=9
$f(9)=\frac{\sqrt{9^2-9}}{9-1} = \frac{\sqrt{72}}{8}$

Hay un máximo en el punto $\textcolor{blue}{\left( 9, \frac{\sqrt{72}}{8} \right)}$

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