Cálculo de límites de funciones irracionales cuando x tiende a infinito
En el caso de funciones del tipo «raíz de polinomio» podemos aplicar lo siguiente:
![\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[p]{a x^n + bx^{n-1}+\cdots } =\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[p]{a x^n} \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[p]{a x^n + bx^{n-1}+\cdots } =\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[p]{a x^n}](local/cache-vignettes/L320xH29/2c9f6cdaf393454d8e1a40bb0e88a66a-38a9a.png?1688066606)
Nos quedamos con el término de mayor grado y despreciamos el resto (al igual que ocurre con los límites de polinomios).
Finalmente se nos puede quedar una expresión del tipo:
![\lim_{x \rightarrow \infty}\sqrt[p]{a x^n} = \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[p]{a} \cdot x^{\frac{n}{p}} \lim_{x \rightarrow \infty}\sqrt[p]{a x^n} = \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[p]{a} \cdot x^{\frac{n}{p}}](local/cache-vignettes/L216xH31/72152d90d218e0accff61932df9e3886-2344f.png?1688066606)
Veamos un ejemplo:
![\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{5x^3+x^2-x+1}}{3x^2-5x+2} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{5x^3}}{3x^2} =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{5} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{3x^2} = 0 \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{5x^3+x^2-x+1}}{3x^2-5x+2} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{5x^3}}{3x^2} =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{5} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{3x^2} = 0](local/cache-vignettes/L484xH49/18e0b6052c33076401ecc63f15e40224-5e3de.png?1688066606)
El límite es 0 porque el grado del denominador es mayor
En el siguiente ejemplo ya empiezan las complicaciones
![\lim_{x \rightarrow \infty}3x^2-\sqrt{x^4+x} \lim_{x \rightarrow \infty}3x^2-\sqrt{x^4+x}](local/cache-vignettes/L165xH29/4cadd6613f849e0c1a6521949e33d657-9923b.png?1688066606)
![\lim_{x \rightarrow \infty}3x^2- \lim_{x \rightarrow \infty}\sqrt{x^4+x} = \infty -\infty \lim_{x \rightarrow \infty}3x^2- \lim_{x \rightarrow \infty}\sqrt{x^4+x} = \infty -\infty](local/cache-vignettes/L293xH29/cce25b2337ae034a5899340d93eba218-4cd38.png?1688066606)
INDETERMINACIÓN
Multiplicamos y dividimos por el conjugado
![\lim_{x \rightarrow \infty}3x^2-\sqrt{x^4+x}= \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{ \left( 3x^2-\sqrt{x^4+x}\right) \cdot \left( 3x^2+\sqrt{x^4+x}\right)}{\left( 3x^2+\sqrt{x^4+x}\right)}= \lim_{x \rightarrow \infty}3x^2-\sqrt{x^4+x}= \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{ \left( 3x^2-\sqrt{x^4+x}\right) \cdot \left( 3x^2+\sqrt{x^4+x}\right)}{\left( 3x^2+\sqrt{x^4+x}\right)}=](local/cache-vignettes/L553xH64/0c0405b51e406554066603fd3d75ded6-70dbe.png?1688066606)
![\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{9x^4-x^4-x}{3x^2+\sqrt{x^4+x}}= \infty \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{9x^4-x^4-x}{3x^2+\sqrt{x^4+x}}= \infty](local/cache-vignettes/L212xH48/9ad1367c227ef136eeeb136fcf19cd75-6dc0d.png?1688066606)
Observe que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador