Cálculo de límites de funciones irracionales (II)

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Cálculo de límites de funciones irracionales cuando x tiende a infinito

En el caso de funciones del tipo «raíz de polinomio» podemos aplicar lo siguiente:

\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[p]{a x^n + bx^{n-1}+\cdots } =\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[p]{a x^n}

Nos quedamos con el término de mayor grado y despreciamos el resto (al igual que ocurre con los límites de polinomios).

Finalmente se nos puede quedar una expresión del tipo:

\lim_{x \rightarrow \infty}\sqrt[p]{a x^n} = \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[p]{a} \cdot x^{\frac{n}{p}}

Veamos un ejemplo:

\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{5x^3+x^2-x+1}}{3x^2-5x+2} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{5x^3}}{3x^2} =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{5} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{3x^2} = 0

El límite es 0 porque el grado del denominador es mayor

En el siguiente ejemplo ya empiezan las complicaciones

\lim_{x \rightarrow \infty}3x^2-\sqrt{x^4+x}

\lim_{x \rightarrow \infty}3x^2- \lim_{x \rightarrow \infty}\sqrt{x^4+x} = \infty -\infty

INDETERMINACIÓN

Multiplicamos y dividimos por el conjugado

\lim_{x \rightarrow \infty}3x^2-\sqrt{x^4+x}= \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{ \left( 3x^2-\sqrt{x^4+x}\right) \cdot \left( 3x^2+\sqrt{x^4+x}\right)}{\left( 3x^2+\sqrt{x^4+x}\right)}=

\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{9x^4-x^4-x}{3x^2+\sqrt{x^4+x}}= \infty


Observe que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador