Selectividad Murcia Junio 2013 A3

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Para la función $f(x)=\frac{x^2}{x-1}$ , se pide:
a) Dominio de definición y puntos de corte con los ejes.
b) Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos).
d) Representación gráfica aproximada.

SOLUCIÓN

$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$

Dominio

$Dom(f)=R - \{1\}$

Corte con los ejes

Si $x=0 \longrightarrow y=\frac{0^2}{0-1} = 0$
Punto de corte

Si $y=0 \longrightarrow 0=\frac{x^2}{x-1} \longrightarrow x^2= 0 \longrightarrow x= 0$
Punto de corte

Asíntotas verticales

Tiene asíntota vertical en

$\lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{x^2}{x-1}= \frac{1^2}{1-1} = \frac{1}{0^-}= -\infty$
$\lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{x^2}{x-1}= \frac{1^2}{1-1} = \frac{1}{0^+}= +\infty$

Asíntotas horizontales

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2}{x-1} = \infty$

No tiene asíntotas horizontales

Asíntota oblicua

Si tiene asíntota oblicua, debe responder a la ecuación
donde $m=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}$ y $n=\lim_{x \rightarrow \infty}\left( f(x)-mx \right)$

$m= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{x^2}{x-1}}{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2}{x^2-x} = 1$

$n=\lim_{x \rightarrow \infty}\left( \frac{x^2}{x-1}-x \right)=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x}{x-1}=1$

La asíntota oblicua es $\textcolor{blue}{y=x+1}$

Monotonía y extremos

$f^{\prime}(x)=\frac{2x(x-1)-x^2 \cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$

$f^{\prime}(x)=0 \longrightarrow \frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=0 \longrightarrow x^2 -2x=0\longrightarrow x=0 ; x=2$

Las soluciones anteriores junto al dominio de la función determinan los intervalos a considerar para la monotonía

$(-\infty,0) \qquad (0,1) \qquad (1,2) \qquad (2, +\inifty)$

Tomamos un punto de cada intervalo y analizamos el signo de la derivada

$-1 \in (-\infty,0) \longrightarrow \frac{(-1)^2-2 \cdot (-1)}{(-1-1)^2}>0 \longrightarrow$ CRECE

$0.5 \in (0,1) \longrightarrow \frac{(0.5)^2-2 \cdot (0.5)}{(0.5-1)^2}<0 \longrightarrow$ DECRECE

$1.5 \in (1.2) \longrightarrow \frac{(1.5)^2-2 \cdot (1.5)}{(1.5-1)^2}<0 \longrightarrow$ DECRECE

$3 \in (2,+\infty) \longrightarrow \frac{2^2-2 \cdot 2}{(2-1)^2}>0 \longrightarrow$ CRECE

$(-\infty,0)$			$(2, +\inifty)$
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Los resultados anteriores y la continuidad de la función nos garantizan que hay un máximo en x=0 y un mínimo en x=2

$f(0)=\frac{0^2}{0-1}=0 \longrightarrow \textcolor{blue}{MAX(0,0)}$

$f(2)=\frac{2^2}{2-1}=4 \longrightarrow \textcolor{blue}{MIN(2,4)}$

Con los datos anteriores podemos dibujar la gráfica