¿Son todos los infinitos iguales?
Si consideremos la función
sabemos que:
![\lim_{x \rightarrow +\infty} x^2 = +\infty \lim_{x \rightarrow +\infty} x^2 = +\infty](local/cache-vignettes/L130xH32/912b512f8ceceb93bee5e465aa26c54f-e72d5.png?1688061472)
Si consideremos la función
sabemos que:
![\lim_{x \rightarrow +\infty} \ln(x^2) = +\infty \lim_{x \rightarrow +\infty} \ln(x^2) = +\infty](local/cache-vignettes/L161xH32/0edc166e7318a4e96dfc93a19f19fbba-7a7a4.png?1688061472)
Nos fijamos ahora en la función ![f(x)=x^2 - \ln(x^2) f(x)=x^2 - \ln(x^2)](local/cache-vignettes/L155xH23/08b5bdf27dc8a21d177d1deba3b1978b-4ae9f.png?1688061472)
¿Cuál sería su límite?
![\lim_{x \rightarrow +\infty} \left( x^2- \ln(x^2)\right) = \infty - \infty \lim_{x \rightarrow +\infty} \left( x^2- \ln(x^2)\right) = \infty - \infty](local/cache-vignettes/L252xH31/6eb2a096c14eb235bc5e42ad8d0b20d8-9c257.png?1688061472)
– ¿Sería 0?
– ¿Sería Indeterminación?
![\lim_{x \rightarrow +\infty} \left( x^2- \ln(x^2)\right) = +\infty \lim_{x \rightarrow +\infty} \left( x^2- \ln(x^2)\right) = +\infty](local/cache-vignettes/L223xH31/38507d6624ec1e9df706fd748e677f99-7f571.png?1688061472)
porque el primer infinito es de orden superior.
Observa la siguiente tabla
Aunque ambas tienden a infinito,
crece mucho más rápido que ![\ln(x^2) \ln(x^2)](local/cache-vignettes/L49xH23/e9af55ced642eb2052b8748ad86857af-ceec7.png?1688061472)
Por tanto, podemos afirmar que hay infinitos de diferentes órdenes
Potencias de x
la de mayor exponente es un infinito de orden superior
![\lim_{x \rightarrow \infty} \left( x^3 - x^2 \right) = \lim_{x \rightarrow \infty} x^3 \lim_{x \rightarrow \infty} \left( x^3 - x^2 \right) = \lim_{x \rightarrow \infty} x^3](local/cache-vignettes/L203xH30/43dc4a6b56aafae8b4e55edb54999064-16345.png?1688061472)
Exponenciales (base mayor que 1)
la de mayor base es un infinito de orden superior
![\lim_{x \rightarrow \infty} \left( 2^x - 3^x \right) = \lim_{x \rightarrow \infty} -3^x \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 2^x - 3^x \right) = \lim_{x \rightarrow \infty} -3^x](local/cache-vignettes/L215xH28/554015ed9f61c42be794f8580dd1df29-7d9fc.png?1688061472)
Exponenciales mayores que Potencias
Una exponencial (base mayor que 1) es un infinito de orden superior a una potencia de x
![\lim_{x \rightarrow \infty} \left( 2^x - x^5 \right) = \lim_{x \rightarrow \infty} 2^x \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 2^x - x^5 \right) = \lim_{x \rightarrow \infty} 2^x](local/cache-vignettes/L203xH30/3410d688236558f5b403cf222d74d614-7201d.png?1688061472)
Potencias mayores que Logarítmicas
Una potencia de x es un infinito de orden superior a una logarítmica
![\lim_{x \rightarrow \infty} \left( x - \ln(x) \right) = \lim_{x \rightarrow \infty} x \lim_{x \rightarrow \infty} \left( x - \ln(x) \right) = \lim_{x \rightarrow \infty} x](local/cache-vignettes/L210xH28/0480391207db4830d59bb7ec3f0d1d63-ecdd8.png?1688061472)
Polinomios del mismo grado son infinitos del mismo orden
Exponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden
En el siguiente ejemplo se aplican los infinitos de diferentes órdenes
![\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^3+2^x}{3^x+4^x}=\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{2^x}{4^x}=\lim_{x \rightarrow +\infty} \left( \frac{2}{4} \right)^x =0 \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^3+2^x}{3^x+4^x}=\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{2^x}{4^x}=\lim_{x \rightarrow +\infty} \left( \frac{2}{4} \right)^x =0](local/cache-vignettes/L379xH48/0911144d477d69107f6b47852f895d91-99461.png?1688061472)