Infinitos de diferentes órdenes

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¿Son todos los infinitos iguales?

Si consideremos la función f(x)=x^2 sabemos que:

\lim_{x \rightarrow +\infty} x^2 = +\infty

Si consideremos la función f(x)=\ln(x^2) sabemos que:

\lim_{x \rightarrow +\infty} \ln(x^2) = +\infty

Nos fijamos ahora en la función f(x)=x^2 - \ln(x^2)
¿Cuál sería su límite?

\lim_{x \rightarrow +\infty} \left( x^2- \ln(x^2)\right) = \infty - \infty

– ¿Sería 0?
– ¿Sería Indeterminación?

\lim_{x \rightarrow +\infty} \left( x^2- \ln(x^2)\right) = +\infty
porque el primer infinito es de orden superior.
Observa la siguiente tabla

Aunque ambas tienden a infinito, x^2 crece mucho más rápido que \ln(x^2)

Por tanto, podemos afirmar que hay infinitos de diferentes órdenes

Potencias de x
la de mayor exponente es un infinito de orden superior

\lim_{x \rightarrow \infty} \left( x^3 - x^2 \right) = \lim_{x \rightarrow \infty} x^3

Exponenciales (base mayor que 1)
la de mayor base es un infinito de orden superior

\lim_{x \rightarrow \infty} \left( 2^x - 3^x \right) = \lim_{x \rightarrow \infty} -3^x

Exponenciales mayores que Potencias
Una exponencial (base mayor que 1) es un infinito de orden superior a una potencia de x

\lim_{x \rightarrow \infty} \left( 2^x - x^5 \right) = \lim_{x \rightarrow \infty} 2^x

Potencias mayores que Logarítmicas
Una potencia de x es un infinito de orden superior a una logarítmica

\lim_{x \rightarrow \infty} \left( x - \ln(x) \right) = \lim_{x \rightarrow \infty} x

Polinomios del mismo grado son infinitos del mismo orden

Exponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden

En el siguiente ejemplo se aplican los infinitos de diferentes órdenes

\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^3+2^x}{3^x+4^x}=\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{2^x}{4^x}=\lim_{x \rightarrow +\infty} \left( \frac{2}{4} \right)^x =0