Sistema 2x2 No Lineal

Resuelve el sistema de ecuaciones:
$\left\{ \begin{array}{ll} x \cdot y = 15 \\ \frac{x}{y} = \frac{5}{3} \end{array} \right.$

SOLUCIÓN

Se trata de un sistema no lineal (en los sistemas lineales las incógnitas no pueden ir multiplicadas entre sí, ni divididas entre sí, ni elevadas a exponentes mayores que 1).

Los sistemas no lineales se suelen resolver por sustitución: despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir en las demás ecuaciones.

Podemos despejar la incógnita que queramos en la ecuación que queramos.

Despejamos "x" en la segunda ecuación:
$x= \frac{5}{3} \cdot y$

Ahora sustituimos en la primera ecuación:
$x \cdot y = 15$
$\overbrace{\frac{5}{3} \cdot y}^{x} \cdot y = 15$
$\frac{5}{3} \cdot y^2 = 15$
$5 \cdot y^2 = 15 \cdot 3$
$5 \cdot y^2 = 45$
$y^2 = \frac{45}{5}$
$y^2 = 9 \longrightarrow y = \pm \sqrt{9} \longrightarrow y = \pm 3$

Tenemos dos soluciones para "y". A cada una hay que buscarle su correspondiente "x"

$x= \frac{5}{3} \cdot y$

Si $y=3 \longrightarrow x=\frac{5}{3} \cdot 3 \longrightarrow x=5$
Si $y=-3 \longrightarrow x=\frac{5}{3} \cdot (-3) \longrightarrow x=-5$

Por tanto el sistema tiene dos soluciones:
$\fbox{x=5 ; y=3}$ y $\fbox{x=-5 ; y=-3}$