Sistema 2x2 No Lineal

Resuelve el sistema de ecuaciones:
$\left\{ \begin{array}{lll} y^2 - 2y + 1 = x \\ \sqrt{x} + y = 5 \end{array} \right.$

SOLUCIÓN

En el sistema

$\left\{ \begin{array}{lll} y^2 - 2y + 1 = x \\ \sqrt{x} + y = 5 \end{array} \right.$

Tenemos despejada $x$ . Resolvamos por sustitución (sustituimos x por su valor en la segunda ecuación):

$\sqrt{y^2 - 2y + 1} + y = 5$

Podemos resolver como una ecuación irracional (aislando la raíz y elevando al cuadrado).

Sin embargo hay un camino más directo .. teniendo en cuenta que:
$y^2 - 2y + 1 = (y-1)^2$

$\sqrt{y^2 - 2y + 1} + y = 5$
$\sqrt{(y-1)^2} + y = 5$
Simplificamos cuadrado con raíz
$y-1 +y=5$
$2y = 6$
$y = 3$

Ahora calculamos $x$ que la teníamos despejada:

$y^2 - 2y + 1 = x$
$3^2 - 2 \cdot 3 + 1 = x$
$9 - 6 + 1 = x$
$x=4$

Finalmente comprobamos que las soluciones verifican el sistema:

$\left\{ \begin{array}{lll} 3^2 - 2 \cdot 3 + 1 = 4 \\ \sqrt{4} + 3 = 5 \end{array} \right.$

Por tanto las soluciones son $x=4$ , $y=3$