Resolver Sistema por Cramer

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La regla de Cramer es una fórmula que nos da la solución de un sistema Compatible Determinado.
Dado un sistema lineal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, podemos expresar su matriz ampliada
\left\{ \begin{array}{lll} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 \end{array} \right. \qquad \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right )

Si el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero, será un sistema compatible determinado.
|A| = \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right | \neq 0
Entonces podemos usar las fórmulas de la regla de Cramer para encontrar la solución:

x = \frac{\left| \begin{array}{ccc} b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \end{array} \right | }{|A|}


y = \frac{\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & b_1 & a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \end{array} \right | }{|A|}


z = \frac{\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \end{array} \right | }{|A|}


Observamos que el determinante del numerador es igual que el determinante del denominador salvo por:

– en la x (1ª incógnita) cambiamos la 1ª fila por la de los términos independientes
– en la y (2ª incógnita) cambiamos la 2ª fila por la de los términos independientes
– en la z (3ª incógnita) cambiamos la 3ª fila por la de los términos independientes

Ver Ejemplo Resuelto