La regla de Cramer es una fórmula que nos da la solución de un sistema Compatible Determinado.
Dado un sistema lineal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, podemos expresar su matriz ampliada
![\left\{
\begin{array}{lll}
a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\
a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\
a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3
\end{array}
\right.
\qquad
\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{array}
\right )
\left\{
\begin{array}{lll}
a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\
a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\
a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3
\end{array}
\right.
\qquad
\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{array}
\right )](local/cache-vignettes/L475xH95/2c6ff36d77269f6cc439fa6af9984c9c-de2c0.png?1688094437)
Si el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero, será un sistema compatible determinado.
![|A| = \left|
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right | \neq 0
|A| = \left|
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right | \neq 0](local/cache-vignettes/L230xH95/6cab0b668967d3ac4926e4b2ac48c25d-eae59.png?1688094437)
Entonces podemos usar las fórmulas de la regla de Cramer para encontrar la solución:
![x = \frac{\left|
\begin{array}{ccc}
b_1 & a_{12} & a_{13} \\
b_2 & a_{22} & a_{23} \\
b_3 & a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right | }{|A|}
x = \frac{\left|
\begin{array}{ccc}
b_1 & a_{12} & a_{13} \\
b_2 & a_{22} & a_{23} \\
b_3 & a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right | }{|A|}](local/cache-vignettes/L172xH172/415459a3f2795e16e7308a76d5a59e6e-8312d.png?1688094437)
![y = \frac{\left|
\begin{array}{ccc}
a_{11} & b_1 & a_{13} \\
a_{21} & b_2 & a_{23} \\
a_{31} & b_3 & a_{33}
\end{array}
\right | }{|A|}
y = \frac{\left|
\begin{array}{ccc}
a_{11} & b_1 & a_{13} \\
a_{21} & b_2 & a_{23} \\
a_{31} & b_3 & a_{33}
\end{array}
\right | }{|A|}](local/cache-vignettes/L170xH172/9c354b96d2407617c4ff5e796d7a37bb-df4aa.png?1688094437)
![z = \frac{\left|
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & b_2 \\
a_{31} & a_{32} & b_3
\end{array}
\right | }{|A|}
z = \frac{\left|
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & b_2 \\
a_{31} & a_{32} & b_3
\end{array}
\right | }{|A|}](local/cache-vignettes/L168xH172/8c094b27e4b8f90ae59a0340619ec0ad-70560.png?1688094437)
Observamos que el determinante del numerador es igual que el determinante del denominador salvo por:
– en la x (1ª incógnita) cambiamos la 1ª fila por la de los términos independientes
– en la y (2ª incógnita) cambiamos la 2ª fila por la de los términos independientes
– en la z (3ª incógnita) cambiamos la 3ª fila por la de los términos independientes
Ver Ejemplo Resuelto