Resolver Sistema por Cramer

La regla de Cramer es una fórmula que nos da la solución de un sistema Compatible Determinado.
Dado un sistema lineal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, podemos expresar su matriz ampliada
 \left\{
\begin{array}{lll}
a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\
a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\
a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 
\end{array}
\right. 
\qquad
\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
b_3 
\end{array}
\right )

Si el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero, será un sistema compatible determinado.
|A| = \left|
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} 
\end{array}
\right | \neq 0
Entonces podemos usar las fórmulas de la regla de Cramer para encontrar la solución:

x = \frac{\left|
\begin{array}{ccc}
b_1  & a_{12} & a_{13} \\
b_2 & a_{22} & a_{23} \\
b_3 & a_{32} & a_{33} 
\end{array}
\right | }{|A|}


y = \frac{\left|
\begin{array}{ccc}
a_{11}  & b_1 & a_{13} \\
a_{21} & b_2 & a_{23} \\
a_{31} & b_3 & a_{33} 
\end{array}
\right | }{|A|}


z = \frac{\left|
\begin{array}{ccc}
a_{11}  & a_{12} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & b_2 \\
a_{31} & a_{32} & b_3 
\end{array}
\right | }{|A|}


Observamos que el determinante del numerador es igual que el determinante del denominador salvo por:

- en la x (1ª incógnita) cambiamos la 1ª fila por la de los términos independientes
- en la y (2ª incógnita) cambiamos la 2ª fila por la de los términos independientes
- en la z (3ª incógnita) cambiamos la 3ª fila por la de los términos independientes

Ver Ejemplo Resuelto