Sucesiones. Término general

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Calcula el término general de la sucesión
3, \frac{5}{2}, \frac{7}{3}, \frac{9}{4}, ...

SOLUCIÓN

Podemos hacerlo distinguiendo dos sucesiones:
– la sucesión de los numeradores
– la sucesión de los denominadores
Ponemos "1" al que no tiene denominador

\frac{3}{1}, \frac{5}{2}, \frac{7}{3}, \frac{9}{4}, \cdots


– La sucesión de los numeradores sería:

3, 5, 7, 9, \cdots


Se trata de una progresión aritmética de diferencia d=2
Podemos comprobar que cada término es el anterior sumándole 2.

Aplicamos la fórmula del termino general de una progresión aritmética

\fbox{a_n=a_1+(n-1)\cdot d}


Sustituimos en la fórmula la diferencia (d=2) y el primer término (a_1=3) y quedaría:

a_n=3+(n-1)\cdot 2


a_n=3+2n -2


a_n=2n +1

– La sucesión de los numeradores sería:

1, 2, 3, 4, \cdots


Su término general es a_n= n
Si no somos capaces de verlo mentalmente, entonces seguimos el esquema tradicional:
Se trata de una progresión aritmética de diferencia d=1
Puesto que cada término es el anterior sumándole 1.

Aplicamos la fórmula

\fbox{a_n=a_1+(n-1)\cdot d}


Sustituimos en la fórmula la diferencia (d=1) y el primer término (a_1=1) y quedaría:

a_n=1+(n-1)\cdot 1


a_n=1+n-1


a_n=n

Entonces el término general de la sucesión dada por fracciones será:

a_n = \frac{2n+1}{n}