Teorema de los cosenos

A partir de un triángulo (ver imagen) de vértices A, B y C y de lados conocidos a, b y c

– (a) Calcula sus ángulos $\hat{A}$ , $\hat{B}$ y $\hat{C}$ en función de sus lados
– (b) Calcula la distancia del segmento AO conociendo los ángulos $\beta_1$ y $\beta_2$

SOLUCIÓN

– (a) En un triángulo del que conocemos sus lados, es posible calcular sus ángulos utilizando el teorema de los cosenos:

$a^2 = b^2+c^2 - 2ab \cdot cos \^{A}$

El teorema es válido para los tres ángulos, pero debemos tener en cuenta la nomenclatura usada:

– El ángulo $\^{A}$ corresponde al vértice
– El lado es el lado opuesto al vértice
– Igual para los otos lados y ángulos

En la fórmula del teorema del coseno, podemos despejar el coseno y tendríamos:
$2ab \cdot cos \^{A} = b^2+c^2 - a^2$
$cos \^{A} = \frac{b^2+c^2 - a^2}{2ab}$

$\^{A} = arc \: cos \left( \frac{b^2+c^2 - a^2}{2ab} \right)$

Podríamos aplicar la misma fórmula para el segundo ángulo:

$\^{B} = arc \: cos \left( \frac{a^2+c^2 - b^2}{2ac} \right)$

Y para el tercero: $\^{C} = 180 - (\^{A} + \^{B}) = 180-\^{A}-\^{C}+\beta_1-\beta_2$

– (b) Del triángulo AOB conocemos sus ángulos $\^{A} - \beta_1$ y $\^{C} + \beta_2$ .
Podemos calcular el tercer ángulo:
$\^{O} = 180 - \left( (\^{A} - \beta_1) + (\^{C} + \beta_2) \right)$
$\^{O} = 180 - \^{A} - \^{C} + \beta_1 - \beta_2$