Trigonometría

Calcula seno y coseno de un ángulo del tercer cuadrante sabiendo que su tangente es \sqrt{3}

SOLUCIÓN

Conociendo la tangente, se puede hallar el coseno con la fórmula:

tg^2(\alpha) + 1=\frac{1}{cos^2(\alpha)}

 \left( \sqrt{3} \right)^2 + 1=\frac{1}{cos^2(\alpha)}

 3 + 1=\frac{1}{cos^2(\alpha)}

 4=\frac{1}{cos^2(\alpha)}

 4 \cdot cos^2(\alpha)=1

 cos^2(\alpha)=\frac{1}{4}

 cos(\alpha)=\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}

Como es del tercer cuadrante el coseno es negativo, por tanto:
\fbox{cos(\alpha) = - \frac{1}{2}}

De la fórmula  \frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}= tg (\alpha) se puede obtener el seno puesto que conocemos coseno y tangente

 \frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}= tg (\alpha)

 \frac{sen(\alpha)}{- \frac{1}{2}}= \sqrt{3}

 sen(\alpha)= - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{- \sqrt{3}}{2}

 \fbox{sen(\alpha)=\frac{- \sqrt{3}}{2}}