UNED A25 - 2013 Junio Modelo A Ejercicio 4

2013JA mat_ciencias sistemas_de_ecuaciones UNED

¿Tiene alguna solución el siguiente sistema?
$\left\{ \begin{array}{ll} 2x+y=12 \\ x-y=-4 \\ -x+2y=9 \end{array} \right.$

SOLUCIÓN

Discutimos el sistema mediante el teorema de Rouché.
Para ello calculamos el rango de la matriz de los coeficientes(A) y el rango de la matriz ampliada(A*)

$A|A^*=\left( \begin{array}{cc|c} 2 & 1& 12 \cr 1& -1 &-4 \cr -1 & 2 &9 \end{array} \right)$

$\left| \begin{array}{cc} 2 & 1 \cr 1& -1 \end{array} \right| = -3 \neq 0 \Longrightarrow r(A)=2$

$\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1& 12 \cr 1& -1 &-4 \cr -1 & 2 &9 \end{array} \right| = 5 \Longrightarrow r(A^*)=3$

Como ambos rangos son distintos, el teorema de Rouché nos dice que el Sistema es incompatible y por tanto no tiene ninguna solución.

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