ecuaciones logaritmicas

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Resuelve la ecuación 2 \log{x} - \log{32} = \log{\frac{x}{2}}

SOLUCIÓN

Para resolver una ecuación logarítmica debemos tener clara la definición de logaritmo y las propiedades de los logaritmos.

Una vez que tengamos claro lo anterior, debemos entender la estrategia a seguir (que suele ser siempre la misma):

Debemos dejar a cada lado del signo igual un sólo logaritmo obteniendo una expresión del tipo:

\log (A) = \log (B)


en la que podremos cancelar logaritmos quedando:

(A) = (B)

Para conseguir un sólo logaritmo a cada lado del signo igual usaremos las propiedades de los logaritmos:
1) primero pasamos al exponente los números que multipliquen a un logaritmo
2) después transformamos sumas en producto y restas en división

2 \log{x} - \log{32} = \log{\frac{x}{2}}


Pasamos el "2" que multiplica a exponente

\log{x^2} - \log{32} = \log{\frac{x}{2}}


Convertimos la resta en división:

\log{\frac{x^2}{32}} = \log{\frac{x}{2}}


Ya tenemos un sólo logaritmo a cada lado del signo igual. Podemos cancelar logaritmos:

\frac{x^2}{32} = \frac{x}{2}


2x^2 = 32x


2x^2 - 32x = 0


Ecuación de segundo grado incompleta, que podemos resolver sacando factor común:

x \cdot (2x - 32) = 0


–  x = 0
–  2x -32 = 0 \longrightarrow 2x=32 \longrightarrow x=16

Soluciones: \fbox{x = 0} y \fbox{x = 16}

En las ecuaciones logarítmicas debemos verificar las soluciones.
La solución x=0 no es correcta (pues en la ecuación original obtendríamos log (0)). Debemos recordar que no existen los logaritmos de cero ni de números negativos.
Por tanto la única solución es: \fbox{x = 16}