ecuaciones trigonométricas

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Dada la ecuación trigonométrica 2 \: sen \:(2x-180^\circ) = 1 , se pide:

– soluciones menores de 360 grados
– expresar todas las soluciones mediante un parámetro
– indicar una solución negativa

SOLUCIÓN

2 \: sen \:(2x-180^\circ) = 1


sen \:(2x-180^\circ) = \frac{1}{2}


Debemos conocer las razones de ángulos notables y saber que el ángulo que tiene de seno 1/2 es 30º.

También debemos recordar las razones de ángulos suplementarios y saber que 150º tiene el mismo seno que 30º.
Si no lo recordamos, pues nos hacemos el dibujo de la circunferencia goniométrica

Por tanto, hay dos soluciones menores de 360ª que serían:

– 2x-180 = 30 \longrightarrow 2x=210 \longrightarrow x=105^\circ
– 2x-180 = 150 \longrightarrow 2x=330 \longrightarrow x=165^\circ

Expresar todas las soluciones mediante un parámetro

Si damos una vuelta a la circunferencia, 30+360 = 390 tiene el mismo seno que 30
Si damos 2 vueltas a la circunferencia, 30+2·360 = 750 tiene el mismo seno que 30

Eso se puede expresar de la siguiente forma:

– x = 30 + k \cdot 360 \quad ; \quad k \in Z
– x = 150 + k \cdot 360 \quad ; \quad k \in Z

Observe que k es un número entero, que puede ser negativo (si damos vueltas en sentido contrario).
Por ejemplo, para k=-1 obtenemos soluciones negativas:

– x = 30 + (-1) \cdot 360 = -330
– x = 150 + (-1) \cdot 360 = -210