Expresión matricial de un sistema lineal

Dado un sistema de ecuaciones
 \left\{
\begin{array}{lll}
a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\
a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\
a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3
\end{array}
\right.

Se puede expresar de forma matricial de la siguiente manera:

 \left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right ) \cdot
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array}
\right ) =
\left(
\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{array}
\right )

La expresión anterior, de forma abreviada A \cdot X = B, se llama expresión matricial del sistema. Las matrices se conocen como:
- A matriz de los coeficientes
- X matriz de las incógnitas
- B matriz de los términos independientes

Matriz ampliada

Se llama matriz ampliada (se representa por A^*) a la matriz de los coeficientes ampliada con la columna de los términos independientes.

 A^* = \left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3
\end{array}
\right )

Es frecuente expresar la matriz de los coeficientes (A) y la matriz ampliada (A^*) en una única expresión:

 A|A^* = \left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{array}
\right )