Monotonía (crecimiento-decrecimiento) de una función

Monotonía (crecimiento y decrecimiento)

- Una función real f(x) es creciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del intervalo x y x', con x < x', se tiene que: f(x) \leq f(x')
- Una función real f(x) es decreciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del intervalo x y x', con x < x', se tiene que: f(x) \geq f(x')
- Una función real f(x) es constante en un intervalo si para cualquier valor x del intervalo , se tiene que: f(x) = k (constante)

Teorema

- Si f'(x_0)>0 \Longrightarrow   f es creciente en x_0
- Si f'(x_0)<0 \Longrightarrow   f es decreciente en x_0

Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento

- 1) Calculamos f'(x)
- 2) Resolvemos la ecuación f'(x)=0
- 3) Dibujamos en la recta real las soluciones de la ecuación anterior y los posibles puntos de discontinuidad de la función. Ello dejará la recta real dividida en intervalos.

- 4) Estudiamos el signo de f'(x) en cada uno de los intervalos anteriores. Para ello tomamos un punto x_0 del intervalo y comprobamos si f'(x_0) es positivo o negativo.

- Si es positivo, la función es creciente en ese intervalo
- Si es negativo, la función es decreciente en ese intervalo

Ver ejemplo resuelto