Acceso25 Matemáticas (Ciencias)

Artículos de esta sección

  • UNED A25 - 2013 Junio Modelo A Ejercicio 10

    El valor de la integral \int_2^3 \frac{x}{x^2-1}dx es:

    SOLUCIÓN

    Es una integral inmediata de tipo logaritmo neperiano. El numerador (con un pequeño cambio) es la derivada del denominador.

    \int_2^3 \frac{x}{x^2-1}dx=\frac{1}{2} \cdot \int_2^3 \frac{2x}{x^2-1}dx=
    =\left. \frac{1}{2} \cdot Ln(x^2-1) \right]_2^3 =
    =\frac{1}{2} Ln8 - \frac{1}{2} Ln3 = \frac{1}{2} (Ln8-Ln3) = \frac{1}{2} Ln \frac{8}{3}

  • UNED A25 - 2013 Junio Modelo A Ejercicio 9

    El valor de \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \sqrt{x^2-2} - \sqrt{x^2-2x} \right) es:

    SOLUCIÓN

    Si sustituimos x por \infty obtenemos una indeterminación del tipo \infty - \infty, que cuando hay raíces se resuelve multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada

    \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \sqrt{x^2-2} - \sqrt{x^2-2x} \right)=

    =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ \left( \sqrt{x^2-2} - \sqrt{x^2-2x} \right) \cdot \left( \sqrt{x^2-2} + \sqrt{x^2-2x} \right)}{\left( \sqrt{x^2-2} + \sqrt{x^2-2x} \right)}=

    En el numerador aplicamos "suma por diferencia = diferencia de cuadrados" y operamos

    =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ 2x-2}{\sqrt{x^2-2} + \sqrt{x^2-2x}}
=

    Ahora se obtiene una indeterminación del tipo \frac{\infty}{\infty} que se resuelve dividiendo por x (que será x^2 dentro de la raíz)

    =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ \frac{2x}{x}-\frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2}-\frac{2}{x^2}} + \sqrt{\frac{x^2}{x^2}-\frac{2x}{x^2}}}
=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2-\frac{2}{x}}{\sqrt{1-\frac{2}{x^2}} + \sqrt{1-\frac{2}{x}}}=

    Finalmente sustituimos x por \infty y obtenemos

    =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2-0}{\sqrt{1-0} + \sqrt{1-0}}= \frac{2}{2} = 1

  • UNED A25 - 2013 Junio Modelo A Ejercicio 8

    El dominio de la función f(x)=\sqrt{\frac{x+6}{x^2}} es:

    SOLUCIÓN

    En primer lugar el radicando debe ser mayor o igual que cero (pues no podemos hacer la raíz cuadrada de un nº negativo)

    \frac{x+6}{x^2} \geq 0

    Es una inecuación racional donde el denominador es siempre positivo (al ser un cuadrado), por tanto será el numerador el que defina el signo de la fracción.

     x+6 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -6

    En segundo lugar debemos observar que un denominador no se puede anular, por tanto x^2=0 \longrightarrow x=0 debemos quitar del dominio el punto x=0

    Teniendo en cuenta ambas observaciones, el dominio quedaría como:

    [-6, +\infty) - \{0\}

    Otra forma de expresarlo sería la siguiente:

    Dom(f) = [-6, 0) \cup (0, +\infty)

  • UNED A25 - 2013 Junio Modelo A Ejercicio 7

    La función f(x)=x^3-3x-3 tiene en el punto (-1,-1) un máximo, un mínimo o un punto de inflexión?

    SOLUCIÓN

    Los extremos (máximos o mínimos) están en los puntos que anulan la primera derivada.
    f(x)=x^3-3x-3
    f’(x)=3x^2-3
    3x^2-3=0 \longrightarrow x=1 y x=-1

    En los puntos x=1 y x=-1 hay extremos. Veamos si son máximos o mínimos analizando el signo de la segunda derivada.

    f’’(x)=6x
    f’’(1) = 6 \cdot 1 = 6 >0 \longrightarrow MÍNIMO en x=1
    f’’(-1) = 6 \cdot (-1) = -6 <0 \longrightarrow MÁXIMO en x=-1

    f(-1)=-1. Por tanto en (-1, -1) hay un Máximo.

  • UNED A25 - 2013 Junio Modelo A Ejercicio 6

    La función f(x)=\left\{ \begin{array}{lcc}
             x^2-1 &   si  & x \leq 1 \\
             \\ 2x-3 &  si  & x > 1 
             \end{array}
   \right. verifica que:

    - A) Es discontinua en x=1
    - B) No está definida en x=0
    - c) Es continua en x=1

    SOLUCIÓN

    La función está definida en x=0 siendo f(0)=0^1-1=-1, por tanto descartamos la opción B.

    Veamos la continuidad en el punto x=1. Dado que es un punto que separa ambos trozos, debemos hacer límites laterales y aplicar la definición de continuidad.

    \lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = 1^2-1=0

    \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = 2 \cdot 1 -3 = -1

    No coinciden los límites laterales, por tanto no hay límite en el punto x=1, con lo cual no es continua en x=1

    Es discontinua en x=1