02 - Posición relativa de recta y plano en el espacio

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Estudiamos la posición relativa de una recta y un plano de dos formas:

Método 1

Discutimos el sistema de ecuaciones formado por las dos ecuaciones de la recta y la ecuación del plano

r \equiv \left\{ \begin{array}{ll} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{array} \right.
\pi \equiv A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0

Es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Los casos posibles son:

– S.C.Det. \longrightarrow 1 punto en común \longrightarrow Se cortan
– S.C.Indet. \longrightarrow \infty puntos en común \longrightarrow La recta está contenida en el plano
– S.Incomp. \longrightarrow Ningún punto en común \longrightarrow Son paralelos

Posición relativa de recta y plano
Posición relativa de recta y plano en el espacio

Método 2

Tomamos
– \vec{u_r} el vector director de la recta
– \vec{v} el vector normal al plano

Comprobamos si ambos vectores son perpendiculares (con el producto escalar)

– Si \vec{u_r} \cancel{\perp} \vec{v} \longrightarrow se cortan en un punto
– Si \vec{u_r} \perp \vec{v} \longrightarrow son paralelos o la recta está incluida en el plano

Para distinguir en el segundo caso, tomamos un punto de la recta y vemos si verifica la ecuación del plano.
– Si la verifica, entonces la recta está dentro del plano
– Si no la cumple son paralelos