Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Se considera la función $f(x) = \dfrac{3 - x}{2 - x}$ .

a) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa $x = 1$ .

b) Estudie su monotonía.

c) Calcule sus asintotas.

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a) (1.5 puntos) Represente gráficamente el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones:
$x \ge 3(y - 3); \quad 2x + 3y \le 36; \quad x \le 15; \quad x \ge 0; \quad y \ge 0.$
b) (1 punto) Calcule los vértices del recinto.
c) (0.5 puntos) Obtenga el valor máximo de la función $F(x, y) = 8x + 12y$ en este recinto e indique dónde se alcanza.

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a) (2 puntos) Represente la región definida por las siguientes inecuaciones y calcule sus vértices:

$x \geq 0; \quad y \geq 0; \quad -x + 2y \leq 6; \quad x + y \leq 6; \quad x \leq 4.$

b) (1 punto) Calcule el máximo de la función $F(x, y) = 2x + 2y + 1$ en la región anterior e indique dónde se alcanza.

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Consideremos la función

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \leq 1 \\ x - 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

a) (1 punto) Estudie su continuidad y derivabilidad.

b) (1 punto) Determine la monotonía de $f$ .

c) (1 punto) Represente gráficamente esta función.

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a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $g(x)=\dfrac{3x-2}{x+1}$ en el punto de abscisa $x=1$ .

b) Se considera la función $f(x)=ax^2-bx+4$ . Calcule los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que $f$ tenga un extremo relativo en el punto $(1, 10)$ .

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Sea la región definida por las siguientes inecuaciones:
$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} \geq 1; \quad -x + 2y \geq 0; \quad y \leq 2.$

a) (2 puntos) Represente gráficamente dicha región y calcule sus vértices.

b) (1 punto) Determine en qué puntos la función $F(x, y) = 3x - 6y + 4$ alcanza sus valores extremos y cuáles son éstos.

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Se considera el recinto definido por las inecuaciones $y - x \leq 4; \quad x - y \leq 4; \quad x + y \leq 12; \quad x \geq 0; \quad y \geq 0.$

a) (2 puntos) Represente el recinto y calcule sus vértices.

b) (1 punto) Dada la función objetivo $F(x, y) = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{4}{5}y$ , determine los valores máximo y mínimo de $F$ y los puntos del recinto donde se alcanzan.

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Una imprenta local edita periódicos y revistas. Para cada periódico necesita un cartucho de tinta negra y otro de color, y para cada revista uno de tinta negra y dos de color. Si sólo dispone de 800 cartuchos de tinta negra y 1100 de color, y si no puede imprimir más de 400 revistas, ¿cuánto dinero podrá ingresar como máximo, si vende cada periódico a 0.9 euros y cada revista a 1.2 euros?

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Sean las funciones $f(x)=x^2-4x+6$ y $g(x)=2x-x^2$

– (a) Determine, para cada una de ellas, los puntos de corte con los ejes, el vértice y la curvatura. Represéntelas gráficamente
– (b) Determine el valor de $x$ para el que se hace mínima la función $h(x) = f(x) - g(x)$ .

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Sean $A$ y $B$ dos sucesos tales que $P(A^c)=0.60$ , $P(B)=0.25$ y $P(A \cup B)=0.55$

– (a) Razone si $A$ y $B$ son independientes
– (b) Calcule $P(A^c \cup B^c)$

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De 500 encuestados en una población, 350 se mostraron favorables a la retransmisión de debates televisivos en tiempos de elecciones. Calcule un intervalo de confianza, al 99.5 %, para la proporción de personas favorables a estas retransmisiones

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Calcula las siguientes derivadas:

– (a) $f(x)=\frac{1-3x}{x} + (5x-2)^3$
– (b) $g(x)=(x^2+2) \cdot Ln(x^2+2)$
– (c) $h(x)=3^{5x}+e^x$

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El gasto anual, en videojuegos, de los jóvenes de una ciudad sigue una ley Normal de media desconocida $\mu$ y desviación típica 18 euros. Elegida, al azar, una muestra de 144 jóvenes se ha obtenido un gasto medio de 120 euros.

– (a) Indique la distribución de las medias de las muestras de tamaño $144$
– (b) Determine un intervalo de confianza, al 99 %, para el gasto medio en videojuegos de los jóvenes de esa ciudad.
– (c) ¿Qué tamaño muestral mínimo deberíamos tomar para, con la misma confianza, obtener un error menor que 1.9?

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Sean las matrices
$A = \left( \begin{array}{cc} x & 1 \\ 1 & x+1 \end{array} \right)$
$\qquad$
$B = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$

– a) Encuentre el valor o valores de x de forma que $B^2 = A$
– b) Igualmente para que $A - I_2 = B^{-1}$
– c) Determine x para que $A \cdot B = I_2$

📝 Ejercicios de Matemat_Soc_Andalucia_2006