Área entre dos curvas

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Halla el área entre las curvas:

– f(x)=x^3-2x
– g(x)=x^2

SOLUCIÓN

Para calcular el área encerrada entre dos curvas seguimos los pasos del Ejemplo en vídeo

Puntos donde se cortan las funciones

f(x)=g(x) \longrightarrow x^3-2x = x^2 \longrightarrow x^3-x^2-2x=0

x \cdot (x^2-x-2)=0. Tenemos dos opciones:

– x=0
– x^2-x-2=0
\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{1+3}{2}=2\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4 \cdot1\cdot(-2)}}{2 \cdot1}= \frac{1\pm \sqrt{9}}{2}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{1-3}{2}=-1\end{array}

Las curvas se cortan en los puntos x=-1 , x=0 y x=2

Construimos la función resta: x^3-2x-x^2= \textcolor{blue}{x^3-x^2-2x}

Para calcular el área hacemos una suma de integrales

A = \left| \int_{-1}^0 (x^3-x^2-2x) dx\right| + \left| \int_{0}^2 (x^3-x^2-2x) dx\right|

A = \left| \left[ \frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-x^2 \right]_{-1}^0 \right| + \left| \left[ \frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-x^2 \right]_{0}^2 \right| =

\left| 0 - \left( \frac{(-1)^4}{4}-\frac{(-1)^3}{3}-(-1)^2\right) \right| + \left| \left( \frac{2^4}{4}-\frac{2^3}{3}-2^2\right)- 0 \right| =

\frac{5}{12} + \frac{8}{3} = \textcolor{blue}{\frac{37}{12} \: u^2}