Área entre dos curvas

Halla el área entre las curvas:

– $f(x)=x^3-2x$
– $g(x)=x^2$

SOLUCIÓN

Para calcular el área encerrada entre dos curvas seguimos los pasos del Ejemplo en vídeo

Puntos donde se cortan las funciones

$f(x)=g(x) \longrightarrow x^3-2x = x^2 \longrightarrow x^3-x^2-2x=0$

$x \cdot (x^2-x-2)=0$ . Tenemos dos opciones:

– $x=0$
– $x^2-x-2=0$
$\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{1+3}{2}=2\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4 \cdot1\cdot(-2)}}{2 \cdot1}= \frac{1\pm \sqrt{9}}{2}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{1-3}{2}=-1\end{array}$

Las curvas se cortan en los puntos $x=-1$ , $x=0$ y $x=2$

Construimos la función resta: $x^3-2x-x^2= \textcolor{blue}{x^3-x^2-2x}$

Para calcular el área hacemos una suma de integrales

$A = \left| \int_{-1}^0 (x^3-x^2-2x) dx\right| + \left| \int_{0}^2 (x^3-x^2-2x) dx\right|$

$A = \left| \left[ \frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-x^2 \right]_{-1}^0 \right| + \left| \left[ \frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-x^2 \right]_{0}^2 \right| =$

$\left| 0 - \left( \frac{(-1)^4}{4}-\frac{(-1)^3}{3}-(-1)^2\right) \right| + \left| \left( \frac{2^4}{4}-\frac{2^3}{3}-2^2\right)- 0 \right| =$

$\frac{5}{12} + \frac{8}{3} = \textcolor{blue}{\frac{37}{12} \: u^2}$

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