Calcular altura de edificio

Observamos el punto más alto de un edificio bajo un ángulo de 70^\circ sobre la horizontal. Si nos alejamos 40 metros, lo vemos bajo un ángulo de 30^\circ.

- Calcula la altura del edificio
- ¿A qué distancia del edificio estábamos?

SOLUCIÓN


Es el problema clásico de la doble tangente.
Se resuelve aplicando la tangente en los dos triángulos rectángulos:


\left.
\begin{array}{r}
tg(70) = \frac{h}{x} \\
tg(30) = \frac{h}{40+x}
\end{array}
\right\}
Se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (x y h).
Lo vamos a resolver por el método de sustitución:
Despejamos "h" en la primera ecuación
tg(70) \cdot x = h
y sustituimos en la segunda

tg(30) = \frac{tg(70) \cdot x}{40+x}

Quitamos denominadores (pasamos el denominador del segundo miembro, que está dividiendo, al primero multiplicando)

(40+x) \cdot tg(30) = tg(70) \cdot x

Quitamos paréntesis

40\cdot tg(30) + tg(30 \cdot x = tg(70) \cdot x

Términos con "x" a la izquierda y números a la derecha

 tg(30) \cdot x - tg(70) \cdot x = -40\cdot tg(30)

Hay dos términos que llevan "x". Tenemos que agruparlos

 \left[ tg(30) - tg(70) \right] x = -40\cdot tg(30)

Finalmente despejamos "x"

 x = \frac{-40\cdot tg(30)}{tg(30) - tg(70)}

Usando la calculadora obtenemos un valor aproximado de

 x \approx 10.64 \: m

Ahora podemos calcular "h"
h = tg(70) \cdot x \approx 29.24 \: m